Задача №17986

Решите уравнение $\cos 10x\cos 7x=\cos 4x\cos x\text{.}$

Преобразуем обе части по формуле произведения косинусов $\cos A\cos B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)+\cos (A+B))\text{.}$

Подставляя в уравнение, слагаемые $\frac{1}{2}\cos 3x$ сокращаются:

ОДЗ всё $\mathbb{R}\text{:}$ косинус определён при любом $x\text{,}$ знаменателей и логарифмов нет, поэтому посторонних корней и краёв проверять не требуется — равносильность сохраняется на всей прямой.

Равенство $\cos 17x=\cos 5x$ равносильно $17x=\pm 5x+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{:}$

Ответ — объединение двух серий:

(Серии пересекаются лишь в точках $x=\pi m\text{,}$ $m\in \mathbb{Z}\text{,}$ что на объединение не влияет.)