Задача №17988

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{.}$ Пусть $M$ — середина отрезка $AD\text{,}$ а $N$ — произвольная точка отрезка $BC\text{.}$ Пусть $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN\text{,}$ а $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC\text{.}$ Найдите все возможные значения площади треугольника $ABL\text{,}$ если известно, что $AD:BC=5:2\text{,}$ а площадь треугольника $DMK$ равна 5.

Введём систему координат: положим $AD$ на оси абсцисс, $AD:BC=5:2\text{,}$ поэтому удобно взять $AD=5\text{,}$ $BC=2\text{.}$ Тогда $A=(0,0)\text{,}$ $D=(5,0)\text{,}$ $M=\left(\frac{5}{2},0\right)$ — середина $AD\text{.}$ Верхнее основание лежит на прямой $y=h$ ($h>0$): $B=(b,h)\text{,}$ $C=(b+2,h)\text{,}$ так что $BC=2$ и $BC\parallel AD\text{.}$ Точка $N$ — произвольная на $BC\text{:}$ $N=B+t(C-B)\text{,}$ где $t\in [0,1]\text{.}$ Тогда $CN=(1-t)\cdot BC\text{.}$

**Точка ** $K=CM\cap DN\text{.}$ Отрезки $DM$ (на основании $AD$) и $CN$ (на основании $BC$) лежат на параллельных прямых, причём расположены по разные стороны от точки пересечения диагоналей этих отрезков; прямые $CM$ и $DN$ пересекаются в $K\text{.}$ Треугольники $KDM$ и $KNC$ подобны (накрест лежащие углы при параллельных $DM\parallel NC$ и пара вертикальных углов), с коэффициентом

Высота треугольника $DMK\text{,}$ опущенная на основание $DM$ (то есть расстояние от $K$ до прямой $AD$), в силу подобия равна $\frac{DM}{DM+NC}h\text{.}$ Прямое вычисление даёт

**Точка ** $L=MN\cap AC\text{.}$ Найдём площадь треугольника $ABL\text{.}$ Заметим, что $L$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ и

Площадь $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h=h$ (основание $BC=2\text{,}$ высота $h$). Параметр точки $L$ вдоль $A\to C$ равен $\frac{AL}{AC}=\frac{5}{9-4t}$ (получается из пересечения прямых $MN$ и $AC$). Следовательно,

Связь площадей. Сравнивая два выражения, при любом положении точки $N$ (любое $t$) и при любой форме трапеции (любые $b,h$) получаем постоянное отношение

Отношение не зависит ни от $t\text{,}$ ни от $b,h\text{.}$ Поэтому при условии $S_{DMK}=5$ однозначно

Проверка корректности конфигурации (края/посторонние значения). При $t\in [0,1]$ знаменатель $9-4t>0\text{,}$ все длины и площади положительны и конечны; деления на нуль не возникает. Параметры точек пересечения вдоль соответствующих отрезков лежат строго в $(0,1)$ (например, при $t=\frac{1}{2}\text{:}$ $CK:KM$ и $DK:KN\text{,}$ $AL:LC$ дают значения в $(0,1)$), то есть $K$ и $L$ — действительно внутренние точки пересечения именно отрезков $CM,DN$ и $MN,AC\text{,}$ как требует условие. Случай $N=B$ ($t=0$) и $N=C$ ($t=1$) также допустим и даёт то же отношение $4/5\text{.}$ Других возможных значений нет.

Итого: единственное возможное значение площади треугольника $ABL$ равно $4\text{.}$