Задача №17991

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\left(\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin (x+y)}+1\right){\left(\frac{2\cos x}{3\cos y}+1\right)}^2{\left(\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}+1\right)}^4.$$

Обозначим три положительных (на промежутке $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ имеем $\cos x>0,\cos y>0,\sin (x+y)>0$) числа:

$$a=\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin (x+y)},b=\frac{2\cos x}{3\cos y},c=\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}.$$

Минимизируемое выражение есть $E=(a+1)(b+1{)}^2(c+1{)}^4\text{.}$

Ключевое наблюдение. Перемножая, переменные части сокращаются:

$$abc=\frac{\sqrt{5}\cos y}{2\sin (x+y)}\cdot \frac{2\cos x}{3\cos y}\cdot \frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{5}\cos x}=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{1}{21}.$$

Итак, $abc=\frac{1}{21}$ постоянно при всех допустимых $x,y\text{.}$ Поскольку при двух свободных параметрах $x,y$ можно независимо задать любые два из чисел $a,b,c$ (третье определяется связью), задача сводится к минимизации

$$E=(a+1)(b+1{)}^2(c+1{)}^4\text{при условии}a,b,c>0,abc=\frac{1}{21}.$$

Минимизация при связи. Минимизируем $\ln E=\ln (a+1)+2\ln (b+1)+4\ln (c+1)$ при $\ln a+\ln b+\ln c=\mathrm{const}\text{.}$ Метод множителей Лагранжа даёт

$$\frac{1}{a+1}=\frac{\lambda }{a},\frac{2}{b+1}=\frac{\lambda }{b},\frac{4}{c+1}=\frac{\lambda }{c},$$

откуда $a=\frac{\lambda }{1-\lambda },b=\frac{\lambda }{2-\lambda },c=\frac{\lambda }{4-\lambda }\text{.}$ Подставляя в $abc=\frac{1}{21}\text{,}$ получаем уравнение, единственный корень которого в нужной области $\lambda =\frac{1}{2}\text{;}$ тогда

$$a=1,b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{7},abc=1\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{21}✓.$$

Это единственная критическая точка; при стремлении любого из $a,b,c$ к $0^{+}$ или к $+\infty$ (что вынуждает другой множитель к бесконечности) имеем $E\to +\infty \text{,}$ поэтому найденная точка даёт глобальный минимум. Значение минимума:

$$E_{\min }=(1+1){\left(\frac{1}{3}+1\right)}^2{\left(\frac{1}{7}+1\right)}^4=2\cdot \frac{16}{9}\cdot \frac{4096}{2401}=\frac{131072}{21609}.$$

Возврат к $x,y\text{.}$ Условия $a=1,b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{7}$ дают

$$\sqrt{5}\cos y=2\sin (x+y),2\cos x=\cos y,\sin (x+y)=\sqrt{5}\cos x.$$

Из второго и третьего: подставляя $\cos y=2\cos x$ и $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=2\sin x\cos x+\cos x\sin y\text{,}$ после деления на $\cos x>0$ получаем систему

$$\cos y=2\cos x,2\sin x+\sin y=\sqrt{5}.$$

Её единственное решение в ${\left(0,\frac{\pi }{2}\right)}^2\text{:}$

$$x=\mathrm{arctg}2,y=\mathrm{arctg}\frac{1}{2},$$

причём $x+y=\frac{\pi }{2}\text{.}$ Прямая подстановка: $\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin x=\frac{2}{\sqrt{5}},\cos y=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin y=\frac{1}{\sqrt{5}},\sin (x+y)=1\text{,}$ откуда

$$a=\frac{\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{2\cdot 1}=1,b=\frac{2\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}{3\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{3},c=\frac{1}{7\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{7},$$

что подтверждает достижение минимума $\frac{131072}{21609}$ именно в этой точке (другой корень системы, $x=\pi -\mathrm{arctg}2,y=\pi -\mathrm{arctg}\frac{1}{2}\text{,}$ лежит вне $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ и отбрасывается).

Ответ. Минимум $\frac{131072}{21609}$ достигается в единственной паре $\left(x,y\right)=\left(\mathrm{arctg}2,\mathrm{arctg}\frac{1}{2}\right)\text{.}$