Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых система
{px2+6px−12y+11p+18⩽0py2−2py−12x+3p−30⩽0имеет ровно одно решение.
Обозначим левые части неравенств:
f1(x,y)=px2+6px−12y+11p+18,f2(x,y)=py2−2py−12x+3p−30.Система требует одновременно f1⩽0 и f2⩽0, поэтому любое решение обязано удовлетворять следствию f1+f2⩽0. Выделим полные квадраты в сумме:
f1+f2=p[(x+3)2+(y−1)2]−12x−12y+4p−12.Случай p>0. Функция f1+f2 — параболоид (выпукла), её минимум по x,y достигается в точке x0=−3+p6, y0=1+p6 и равен
x,ymin(f1+f2)=4p+12−p72=p4(p−3)(p+6).При p>0 знак минимума определяется множителем p−3.
∙ Если p>3, то min(f1+f2)>0, значит f1+f2>0 всюду и система не имеет решений.
∙ Если p=3, сумма сворачивается в полный квадрат:
f1+f2p=3=3(x+1)2+3(y−3)2⩾0,причём равенство нулю возможно лишь в единственной точке (x,y)=(−1,3). Но из f1⩽0 и f2⩽0 следует f1+f2⩽0, а так как f1+f2⩾0, получаем f1+f2=0, то есть (x,y)=(−1,3). Прямая подстановка даёт f1(−1,3)=0 и f2(−1,3)=0, оба неравенства выполнены (как равенства). Значит при p=3 система имеет ровно одно решение (−1,3).
∙ Если 0<p<3, то min(f1+f2)<0. В центре (x0,y0)=(−3+p6,1+p6) непосредственно проверяется, что f1<0 и f2<0 строго (например, при p=2: точка (0,4), f1=f2=−8). По непрерывности f1,f2 целая окрестность этой точки удовлетворяет обоим строгим неравенствам, поэтому решений бесконечно много.
Случай p=0. Система превращается в −12y+18⩽0 и −12x−30⩽0, то есть y⩾23, x⩾−25 — целый квадрант, решений бесконечно много.
Случай p<0. Неравенство f1⩽0 равносильно 12y⩾p(x+3)2+2p+18, где правая часть — парабола ветвями вниз; область над ней, как и аналогичная область для f2, неограниченна, и их пересечение содержит сколь угодно большие множества точек (проверено численно: при p=−1,−2 пересечение — обширная двумерная область). Решений бесконечно много.
Вывод. Ровно одно решение система имеет только при p=3 (единственное решение — точка (−1,3)).