Задача №17990

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ На рёбрах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ нижнего основания отмечены соответственно точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ таким образом, что $AK:KB=7:9\text{,}$ $BL:LC=2:1\text{,}$ $CM:MD=3:1\text{,}$ $DN:NA=2:1\text{.}$ Пусть $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $R$ — центры сфер, описанных около тетраэдров $AKN{A}^{\prime }\text{,}$ $BLK{B}^{\prime }\text{,}$ $CML{C}^{\prime }\text{,}$ соответственно. Найдите $PQ\text{,}$ если известно, что $QR=1$ и $AB:BC=4:3\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат, связанную с нижним основанием. Положим $A=(0,0,0)\text{,}$ и направим оси по рёбрам основания: пусть $AB=a\text{,}$ $BC=b\text{,}$ а высота параллелепипеда (длина бокового ребра) равна $c\text{.}$ Тогда

Отмеченные точки. По заданным отношениям

Ключевое наблюдение о форме оснований тетраэдров. Рассмотрим основание тетраэдра $AKN{A}^{\prime }$ — треугольник $AKN\text{.}$ Точка $K$ лежит на ребре $AB$ (вдоль оси $Ox$), а точка $N$ — на ребре $AD$ (вдоль оси $Oy$). Рёбра $AB$ и $AD$ основания взаимно перпендикулярны, поэтому угол $KAN$ прямой: треугольник $AKN$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ и гипотенузой $KN\text{.}$ Совершенно так же треугольник $BLK$ прямоуголен при вершине $B$ (стороны $BK$ вдоль $BA$ и $BL$ вдоль $BC$ перпендикулярны), а треугольник $CML$ прямоуголен при вершине $C\text{.}$

Где лежат центры сфер. Центр сферы, описанной около тетраэдра, равноудалён от всех четырёх его вершин; в частности, он равноудалён от трёх вершин основания, то есть его проекция на плоскость основания есть центр описанной окружности этого основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — это середина гипотенузы. Значит, проекции центров $P,Q,R$ на нижнее основание суть середины гипотенуз:

Кроме того, у каждого тетраэдра четвёртая вершина — это «верхняя» вершина параллелепипеда, стоящая ровно над вершиной прямого угла: над $A$ стоит $A^{\prime }\text{,}$ над $B$ — $B^{\prime }\text{,}$ над $C$ — $C^{\prime }\text{.}$ Боковое ребро вертикально, поэтому плоскость, перпендикулярная ему и проходящая через его середину (геометрическое место точек, равноудалённых от его концов), есть горизонтальная плоскость $z=\frac{c}{2}\text{.}$ Центр описанной сферы обязан лежать на этой плоскости. Итак, все три центра имеют одну и ту же аппликату $z=\frac{c}{2}\text{:}$

Следовательно, высота параллелепипеда $c$ на расстояния $PQ$ и $QR$ не влияет — эти расстояния равны горизонтальным расстояниям между серединами гипотенуз.

Координаты центров. Вычислим середины:

Расстояния. Так как у $P,Q,R$ совпадают аппликаты, имеем

**Учёт условия ** $AB:BC=4:3\text{.}$ Положим $a=\frac{4}{3}b\text{.}$ Тогда $9a^2=16b^2\text{,}$ и

Оба расстояния содержат один и тот же множитель $\sqrt{17}b\text{,}$ поэтому их отношение не зависит ни от размера $b\text{,}$ ни от высоты $c\text{:}$

По условию $QR=1\text{,}$ значит

Проверка корректности. Все отношения $AK:KB,BL:LC,CM:MD,DN:NA$ положительны, поэтому точки $K,L,M,N$ — внутренние точки соответствующих рёбер; треугольники $AKN,BLK,CML$ невырожденны (катеты ненулевые), их описанные окружности существуют, а вместе с невырожденными боковыми рёбрами это даёт невырожденные тетраэдры с однозначно определёнными описанными сферами. Деления на нуль и посторонних случаев не возникает; ответ от высоты $c$ не зависит, что согласуется с тем, что в условии она не задана.

Ответ: $PQ=\frac{4}{3}\text{.}$