Задача №17987

Решите неравенство ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^{{\log }_{2-\sqrt{3}}x}⩾{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{{\log }_x\left(2+\sqrt{3}\right)}.$

Решаем неравенство ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^{{\log }_{2-\sqrt{3}}x}⩾{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{{\log }_x\left(2+\sqrt{3}\right)}\text{.}$

ОДЗ. В левой части основание логарифма $2-\sqrt{3}\in (0,1)$ фиксировано и корректно, требуется $x>0\text{.}$ В правой части стоит ${\log }_x(2+\sqrt{3})\text{,}$ значит основание $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{.}$ Сами степенные основания $2\pm \sqrt{3}>0\text{.}$ Итого ОДЗ: $x>0,x\ne 1\text{.}$

Ключ. $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\text{,}$ поэтому $2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}\text{.}$ Обозначим $a=2+\sqrt{3}>1\text{,}$ тогда $2-\sqrt{3}=a^{-1}\text{.}$

Замена. Положим $t={\log }_{a}x\text{;}$ тогда $x=a^t\text{,}$ а условие $x>0,x\ne 1$ означает $t\in \mathbb{R},t\ne 0\text{.}$
Пересчитаем логарифмы-показатели:

Тогда

Неравенство принимает вид $a^{-t}⩾a^{-1/t}\text{.}$

Монотонность. Так как $a=2+\sqrt{3}>1\text{,}$ функция $a^u$ возрастает, поэтому неравенство равносильно сравнению показателей:

Метод интервалов для $\frac{(1-t)(1+t)}{t}⩾0$ при $t\ne 0\text{:}$ нули числителя $t=\pm 1\text{,}$ разрыв $t=0\text{.}$ Знаки: $t<-1$ даёт $+\text{;}$ $-1<t<0$ даёт $-\text{;}$ $0<t<1$ даёт $+\text{;}$ $t>1$ даёт $-\text{.}$ С учётом нестрогости (нули числителя включаем, разрыв исключаем):

Обратная замена $x=a^t$ (возрастает по $t\text{,}$ $a>1$):

• $t\in (-\infty ,-1]\Rightarrow x\in \left(0,a^{-1}\right]=\left(0,2-\sqrt{3}\right]$ (при $t\to -\infty$ $x\to 0^{+}\text{;}$ при $t=-1$ $x=a^{-1}=2-\sqrt{3}$);
• $t\in (0,1]\Rightarrow x\in \left(1,a\right]=\left(1,2+\sqrt{3}\right]$ (при $t\to 0^{+}$ $x\to 1^{+}\text{;}$ при $t=1$ $x=a=2+\sqrt{3}$).

Точка $x=1$ (т.е. $t=0$) исключена ОДЗ и попадает в разрыв — посторонний край отсечён корректно. Концы $x=2-\sqrt{3}$ и $x=2+\sqrt{3}$ дают равенство (включены).

Ответ: $x\in \left(0,2-\sqrt{3}\right]\cup \left(1,2+\sqrt{3}\right]\text{.}$