58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T61c,Оба сравниваемых числа неотрицательны, поэтому их сравнение равносильно сравнению квадратов. Квадрат первого числа равен подкоренному выражению \[\frac{7}{8}+7+\frac{8}{7},\] а квадрат второго равен $3^2=9$. Сравним подкоренное выражение с числом $9$: \[\frac{7}{8}+7+\frac{8}{7}-9=\frac{7}{8}+\frac{8}{7}-2.\] Для положительных чисел $\dfrac{7}{8}$ и $\dfrac{8}{7}$, являющихся взаимно обратными, по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом \[\frac{7}{8}+\frac{8}{7}\geqslant 2\sqrt{\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{7}}=2,\] причём равенство было бы только при $\dfrac{7}{8}=\dfrac{8}{7}$, что неверно. Значит, $\dfrac{7}{8}+\dfrac{8}{7}>2$, и потому \[\frac{7}{8}+7+\frac{8}{7}-9>0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{7}{8}+7+\frac{8}{7}>9.\] Прямой подсчёт это подтверждает: $\dfrac{7}{8}+7+\dfrac{8}{7}=\dfrac{49+392+64}{56}=\dfrac{505}{56}=9+\dfrac{1}{56}>9$. Итак, подкоренное выражение больше $9$, значит и его арифметический квадратный корень больше $\sqrt{9}=3$. Следовательно, первое число больше. \[\boxed{\,\sqrt{\dfrac{7}{8}+7+\dfrac{8}{7}}>3\,.}\]5c:T988,Решаем уравнение $\cos 6x+\cos 5x=\sin x$. Область определения — все $x\in\mathbb{R}$ (обе части определены всюду, посторонних корней по ОДЗ не возникает). Преобразуем левую часть по формуле суммы косинусов: \[\cos 6x+\cos 5x=2\cos\frac{11x}{2}\cos\frac{x}{2}.\] Правую часть распишем через половинный угол: $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$. Уравнение принимает вид \[2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{11x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)=0.\] Произведение равно нулю, рассматриваем два случая. Случай 1: $\cos\frac{x}{2}=0$. Тогда $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k$, откуда \[x=\pi+2\pi k=\pi(2k+1),\quad k\in\mathbb{Z}.\] Случай 2: $\cos\frac{11x}{2}=\sin\frac{x}{2}$. Запишем правую часть как косинус: $\sin\frac{x}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)$. Равенство косинусов $\cos A=\cos B$ даёт $A=\pm B+2\pi n$: \[\frac{11x}{2}=\pm\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] Подслучай 2a (знак «+»): \[\frac{11x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ 6x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}=\frac{\pi(4n+1)}{12}.\] Подслучай 2b (знак «−»): \[\frac{11x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ 5x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ x=-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}=\frac{\pi(4n-1)}{10}.\] Ответ: \[x=\pi(2k+1),\qquad x=\frac{\pi(4n+1)}{12},\qquad x=\frac{\pi(4n-1)}{10},\qquad k,n\in\mathbb{Z}.\] Замечание о полноте и пересечениях: серии частично пересекаются (например, корни вида $\pi(2k+1)$ при некоторых значениях совпадают с членами других серий), но это лишь повторное перечисление одних и тех же корней и не вносит ошибки. Общий период уравнения равен $4\pi$ (НОК периодов $\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{5},2\pi$); на нём ровно 24 корня, и все они покрываются указанными тремя сериями.5d:T91d,ОДЗ: логарифмы определены лишь при $x>0$, поэтому всюду далее $x>0$. Обозначим $u=\log_6 x$, $v=\log_5 x$. Заметим, что $\log_5 x^5=5\log_5 x=5v$. Тогда неравенство \[x^2 u^2+6v^2\leqslant x\,u\cdot 5v\] равносильно \[x^2 u^2-5xuv+6v^2\leqslant 0.\] Левая часть раскладывается на множители (как квадратный трёхчлен относительно $xu$): \[x^2 u^2-5xuv+6v^2=(xu-2v)(xu-3v)\leqslant 0.\] Подставим $u=\dfrac{\ln x}{\ln 6}$, $v=\dfrac{\ln x}{\ln 5}$. Тогда \[xu-2v=\frac{\ln x}{\ln 5\,\ln 6}\bigl(x\ln 5-2\ln 6\bigr),\qquad xu-3v=\frac{\ln x}{\ln 5\,\ln 6}\bigl(x\ln 5-3\ln 6\bigr).\] Поэтому \[(xu-2v)(xu-3v)=\frac{(\ln x)^2}{(\ln 5)^2(\ln 6)^2}\bigl(x\ln 5-2\ln 6\bigr)\bigl(x\ln 5-3\ln 6\bigr).\] Множитель $\dfrac{(\ln x)^2}{(\ln 5)^2(\ln 6)^2}\geqslant 0$ при всех $x>0$ и обращается в нуль только при $x=1$. Следовательно, при $x\ne 1$ знак выражения совпадает со знаком произведения \[\bigl(x\ln 5-2\ln 6\bigr)\bigl(x\ln 5-3\ln 6\bigr).\] Это парабола относительно $x$ с положительным старшим коэффициентом $(\ln 5)^2>0$ и корнями \[x_1=\frac{2\ln 6}{\ln 5}=2\log_5 6,\qquad x_2=\frac{3\ln 6}{\ln 5}=3\log_5 6,\] причём $01$) и потому является изолированным решением; концы отрезка включаются. ОДЗ $x>0$ для всех этих значений выполнено. \[\boxed{\,x=1\quad\text{или}\quad 2\log_5 6\leqslant x\leqslant 3\log_5 6\,.}\]5e:T11e0,Окружность проходит через точки $K$ и $L$ и касается прямых $KM$ и $LM$. Так как $K$ лежит и на окружности, и на прямой $KM$, то именно $K$ — точка касания на прямой $KM$; аналогично $L$ — точка касания на прямой $LM$. Поэтому $MK$ и $ML$ — касательные из точки $M$, и $MK=ML$, то есть треугольник $KLM$ равнобедренный. Введём обозначения для углов: $\angle SLM=45^\circ$ (дано) и $\beta=\angle KLS$. По условию $\angle LMS=\beta$. Обозначим искомое расстояние от $S$ до прямой $LM$ через $q$, расстояние от $S$ до прямой $KL$ через $p$ (по условию $p=1$). Выразим эти расстояния через хорду $SL$. Опуская из $S$ перпендикуляры на прямые $LM$ и $KL$, в соответствующих прямоугольных треугольниках получаем \[q=SL\cdot\sin\angle SLM=SL\sin 45^\circ,\qquad p=SL\cdot\sin\angle SLK=SL\sin\beta.\] Отсюда сразу \[\frac{q}{p}=\frac{\sin 45^\circ}{\sin\beta}.\tag{1}\] Остаётся найти $\beta$. Используем угол при касательной. По теореме об угле между касательной и хордой (касательная $LM$, хорда $LS$) угол $\angle SLM$ равен вписанному углу $\angle SKL$, опирающемуся на ту же дугу $LS$: \[\angle SKL=\angle SLM=45^\circ.\] Применим теорему синусов в треугольнике $KLS$ (где $\angle SLK=\beta$, $\angle SKL=45^\circ$, а значит $\angle KSL=135^\circ-\beta$): \[\frac{KL}{\sin\angle KSL}=\frac{SL}{\sin\angle SKL}\quad\Longrightarrow\quad KL=SL\cdot\frac{\sin(135^\circ-\beta)}{\sin 45^\circ}.\tag{2}\] Теперь свяжем $KL$ с касательной $ML$. Точка $S$ лежит на дуге между $K$ и $L$, внутри треугольника, и луч $LS$ проходит между $LM$ и $LK$, поэтому \[\angle MLK=\angle SLM+\angle SLK=45^\circ+\beta.\] Треугольник $KLM$ равнобедренный ($MK=ML$) с основанием $KL$; его углы при основании равны $\angle MLK=\angle MKL=45^\circ+\beta$, поэтому \[KL=2\,ML\cos(45^\circ+\beta).\tag{3}\] Наконец, рассмотрим треугольник $LMS$: в нём $\angle SLM=45^\circ$, $\angle LMS=\beta$, значит $\angle LSM=135^\circ-\beta$. По теореме синусов \[\frac{SL}{\sin\angle LMS}=\frac{ML}{\sin\angle LSM}\quad\Longrightarrow\quad ML=SL\cdot\frac{\sin(135^\circ-\beta)}{\sin\beta}.\tag{4}\] Подставляя (4) в (3) и приравнивая результат к (2), сокращаем общий множитель $SL\sin(135^\circ-\beta)$ (он положителен, так как $0<\beta<90^\circ$): \[\frac{2\cos(45^\circ+\beta)}{\sin\beta}=\frac{1}{\sin 45^\circ}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt2\,\cos(45^\circ+\beta)=\sin\beta.\] Раскрывая косинус суммы и учитывая $\sqrt2\cos 45^\circ=\sqrt2\sin 45^\circ=1$, получаем \[\cos\beta-\sin\beta=\sin\beta\quad\Longrightarrow\quad \cos\beta=2\sin\beta\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}\beta=\frac12.\] Из $\operatorname{tg}\beta=\tfrac12$ (где $\beta$ острый) находим $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt5}$. Подставляя в (1) и учитывая $p=1$: \[q=p\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin\beta}=1\cdot\frac{\tfrac{\sqrt2}{2}}{\tfrac{1}{\sqrt5}}=\frac{\sqrt2\,\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{\frac{5}{2}}.\] Корректность: найденное $\beta=\operatorname{arctg}\tfrac12\approx 26{,}57^\circ$ острое, все углы треугольников $KLS$, $LMS$, $KLM$ положительны ($45^\circ+\beta<90^\circ$), точка $S$ действительно лежит внутри треугольника, и расстояние $p=1$ согласовано. Численная проверка построением даёт расстояние до $LM$, равное $1{,}5811\ldots=\sqrt{5/2}$. \[\boxed{\,q=\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\,.}\]5f:T7a0,Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вверх по реке до пункта B, причем, в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 8 км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт B уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт C, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, расстояние между пунктами B и C равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.60:Tded,Введём ось вдоль реки: $A=0$, $B=L$, направление вверх по реке положительное; $C$ — между $A$ и $B$, причём $BC=2$, то есть $C=L-2$. Поскольку Анатолий уже проехал $C$ и развернулся, лишь промчавшись 8 км, точка разворота имеет координату $8$, и $C<8$, т.е. $L<10$. Обозначим эффективные скорости (учитывающие течение): $u$ — скорость катера Анатолия вверх по реке (направление $A\to B$), $d$ — его скорость вниз по реке ($B\to A$), $v$ — скорость второго катера (с друзьями) вверх по реке. Все они постоянны, $d>u$ (течение), и в силу одного течения для всех справедливо $d-u=2w$, $v=s_{\text{сл}}-w$. **Хронология Анатолия.** \[t_1=\frac{8}{u}\ (\text{из }A\text{ в точку }8\text{ вверх}),\quad t_2=\frac{8-C}{d}=\frac{10-L}{d}\ (\text{из }8\text{ в }C\text{ вниз}),\quad t_3=\frac{L-C}{u}=\frac{2}{u}\ (\text{из }C\text{ в }B\text{ вверх}).\] Момент прибытия Анатолия в $B$: \[T_A=\frac{8}{u}+\frac{10-L}{d}+\frac{2}{u}=\frac{10}{u}+\frac{10-L}{d}.\] **Друзья** идут $A\to B$ со скоростью $v$, их координата в момент $t$ есть $x_f(t)=vt$, а момент прибытия в $B$: \[T_F=\frac{L}{v}.\] **Условие одновременного прибытия** $T_A=T_F$ даёт \[\frac{10}{u}+\frac{10-L}{d}=\frac{L}{v}\ \Longrightarrow\ L=\frac{10\,v\,(d+u)}{u\,(d+v)}.\tag{1}\] **Встреча.** Пока Анатолий идёт вниз из точки $8$ (со времени $t_1$ до $t_1+t_2$), его координата $x_a(t)=8-d\,(t-t_1)$. Встреча со вторым катером: $x_a=x_f$, то есть $8-d\,(t-t_1)=vt$. Отсюда координата встречи \[x_{\text{встр}}=\frac{8\,v\,(d+u)}{u\,(d+v)}.\tag{2}\] Из (1) и (2) сразу видно, что $x_{\text{встр}}=\dfrac{8}{10}\,L=\dfrac{4}{5}L$. Следовательно, друзьям от момента встречи оставалось пройти \[L-x_{\text{встр}}=L-\frac{4}{5}L=\frac{1}{5}L,\] то есть ровно **одну пятую** всего пути от $A$ до $B$. Результат не зависит от конкретных значений скоростей, течения и $L$ — он полностью определяется числами 8 (разворот) и $2=BC$. **Проверка ОДЗ/физичности.** Нужно $0u>0$, $v>0$; встреча обязана попадать в фазу спуска $t_1\le t_{\text{встр}}\le t_1+t_2$. Конкретный непротиворечивый пример: $s_A=20$, течение $w=5$ ($u=15,\ d=25$), $L=9$ ($C=7<8$); тогда из (1) $v=\frac{675}{53}\approx12.74$ (медленнее Анатолия — согласовано), встреча в $x=7.2$ км попадает между $C=7$ и $8$, оба прибывают в $B$ за $0.7067$ ч одновременно, и друзьям остаётся $1.8$ км из $9$ — ровно $\frac{1}{5}$.61:Tbe8,Поскольку все три плоских угла при вершине $S$ прямые, поместим $S$ в начало координат, а рёбра $SK$, $SL$, $SM$ направим по осям: $K=(a,0,0)$, $L=(0,b,0)$, $M=(0,0,c)$, где $a,b,c>0$. Тогда грани при $S$ — прямоугольные треугольники с площадями $S_{SLM}=\dfrac{bc}{2}$, $S_{SKM}=\dfrac{ac}{2}$, $S_{SKL}=\dfrac{ab}{2}$. Основание $KLM$ лежит в плоскости $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Основание высоты $H$ — проекция $S$ на эту плоскость; вектор $\overrightarrow{SH}$ коллинеарен нормали $\left(\tfrac1a,\tfrac1b,\tfrac1c\right)$. Ключевой факт (теорема о проекции, проверена символически и численно): площадь каждого из треугольников $HLM$, $HKM$, $HKL$ равна квадрату площади противоположной прямоугольной грани при $S$, делённому на площадь основания: \[S_{HLM}=\frac{S_{SLM}^2}{S_{KLM}},\quad S_{HKM}=\frac{S_{SKM}^2}{S_{KLM}},\quad S_{HKL}=\frac{S_{SKL}^2}{S_{KLM}}.\] Так как $S$ проецируется внутрь треугольника $KLM$, точка $H$ лежит внутри основания, поэтому \[S_{KLM}=S_{HLM}+S_{HKM}+S_{HKL}=\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac12=1.\] (Согласуется с теоремой де Гуа $S_{KLM}^2=S_{SLM}^2+S_{SKM}^2+S_{SKL}^2$.) Отсюда площади прямоугольных граней: \[\frac{bc}{2}=\sqrt{S_{HLM}\cdot S_{KLM}}=\sqrt{\tfrac15}=\frac{\sqrt5}{5},\qquad \frac{ac}{2}=\sqrt{\tfrac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10},\qquad \frac{ab}{2}=\sqrt{\tfrac12}=\frac{\sqrt2}{2}.\] Значит $bc=\dfrac{2\sqrt5}{5}$, $ac=\dfrac{\sqrt{30}}{5}$, $ab=\sqrt2$. Перемножая, $(abc)^2=(ab)(ac)(bc)=\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt{30}}{5}\cdot\dfrac{2\sqrt5}{5}=\dfrac{4\sqrt3}{5}$, откуда $abc=\dfrac{2\sqrt[4]{3}\,\sqrt5}{5}$. Объём прямоугольного тетраэдра равен $V=\dfrac{1}{6}abc$ (так как $V=\tfrac13\cdot\tfrac{ab}{2}\cdot c$). Поэтому \[V=\frac{1}{6}\cdot\frac{2\sqrt[4]{3}\,\sqrt5}{5}=\frac{\sqrt[4]{3}\,\sqrt5}{15}=\frac{\sqrt[4]{3\cdot25}}{15}=\frac{\sqrt[4]{75}}{15}.\] ОДЗ/корректность: все $a,b,c>0$; конфигурация существует (явные значения $a=\sqrt[4]{3}$, $b=\tfrac{\sqrt2\,3^{3/4}}{3}$, $c=\tfrac{\sqrt{10}\,\sqrt[4]{3}}{5}$ дают ровно требуемые площади и прямые углы при $S$); посторонних решений нет: площади однозначно определяют попарные произведения $ab,ac,bc$, а значит и $abc>0$. Численно $V\approx0{,}19619$.62:T9c5,Обозначим $t=x^2-y^2$. ОДЗ исходной системы требует $\sin t\neq 0$. Умножив оба уравнения на $\sin t$, приведём систему к линейному (относительно $x,y$) виду: \[\begin{cases} x + y\cos t = A\sin t,\\ x\cos t + y = B\sin t,\end{cases}\qquad A=\sqrt{\tfrac{2\pi}{3}},\ \ B=-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.\] Определитель этой линейной системы равен $1-\cos^2 t=\sin^2 t\neq 0$, поэтому при любом допустимом $t$ пара $(x,y)$ определена однозначно: \[x=\frac{A-B\cos t}{\sin t},\qquad y=\frac{B-A\cos t}{\sin t}.\] Ключевое наблюдение: вычислим $x^2-y^2$ через эти выражения. В числителе \[(A-B\cos t)^2-(B-A\cos t)^2=(A^2-B^2)(1-\cos^2 t)=(A^2-B^2)\sin^2 t,\] поэтому \[x^2-y^2=\frac{(A^2-B^2)\sin^2 t}{\sin^2 t}=A^2-B^2=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}\] — и это значение НЕ зависит от $t$. Но по определению $t=x^2-y^2$, значит условие совместности даёт единственное \[t=x^2-y^2=\frac{\pi}{6}.\] (Эквивалентно: складывая/вычитая уравнения, получаем $(x+y)\operatorname{ctg}\tfrac t2=A+B$ и $(x-y)\operatorname{tg}\tfrac t2=A-B$; перемножая, $t=(x+y)(x-y)=(A+B)(A-B)=A^2-B^2=\tfrac{\pi}{6}$.) Подставив $t=\tfrac{\pi}{6}$ ($\sin t=\tfrac12\neq0$ — ОДЗ выполнено, $\cos t=\tfrac{\sqrt3}{2}$) в формулы для $x,y$: \[x=\frac{A-B\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\tfrac12}=2A-\sqrt3\,B=2\sqrt{\tfrac{2\pi}{3}}+\sqrt3\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{7\sqrt{6\pi}}{6},\] \[y=\frac{B-A\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\tfrac12}=2B-\sqrt3\,A=-2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}-\sqrt3\sqrt{\tfrac{2\pi}{3}}=-2\sqrt{2\pi}.\] Проверка совместности: $x^2-y^2=\frac{49\cdot 6\pi}{36}-4\cdot 2\pi=\frac{49\pi}{6}-8\pi=\frac{49\pi-48\pi}{6}=\frac{\pi}{6}=t$ — согласовано. Поскольку при каждом допустимом $t$ решение единственно, а условие совместности оставляет ровно одно $t=\tfrac{\pi}{6}$, система имеет единственное решение. Ответ: $x=\dfrac{7\sqrt{6\pi}}{6},\ y=-2\sqrt{2\pi}$ (численно $x\approx 5.0652,\ y\approx -5.0133$).41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2017 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2017 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2017-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T09:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2017 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2017 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2017 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2017-v2","serverCollection":{"id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","name":"ДВИ МГУ 2017 — вариант 2","code":"dvi-math-2017-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2017 года, вариант 2","visible_problem_count":8,"year":2017},"created_at":"2026-06-10T09:20:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"ce41755d-1560-4970-94e0-ca9b4d879599","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"ce41755d-1560-4970-94e0-ca9b4d879599","short_id":17952,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Какое число больше: \$\\sqrt{\\dfrac{7}{8}+7+\\dfrac{8}{7}}\$ или \$3\$?","answer_text":"Первое больше","answer":"Первое больше","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"f75e77f1-1af5-4f22-8074-972d6f764ad4","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f75e77f1-1af5-4f22-8074-972d6f764ad4","short_id":17953,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Известно, что \$a+b+c=6\$ и \$a^2+b^2+c^2=16\$. Найдите \$ab+bc+ac\$.","answer_text":"\$10\$","answer":"\$10\$","solution_text":"Воспользуемся тождеством для квадрата суммы трёх слагаемых:\n\\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac).\\]\nПодставляя данные \$a+b+c=6\$ и \$a^2+b^2+c^2=16\$, получаем\n\\[6^2=16+2(ab+bc+ac),\\]\nто есть\n\\[36=16+2(ab+bc+ac)\\quad\\Longrightarrow\\quad 2(ab+bc+ac)=20\\quad\\Longrightarrow\\quad ab+bc+ac=10.\\]\n\nЗамечание о существовании. Условие не пусто: например, при \$a=b=2-\\tfrac{\\sqrt6}{3},\\ c=2+\\tfrac{2\\sqrt6}{3}\$ имеем \$a+b+c=6\$ и \$a^2+b^2+c^2=16\$, и для такой тройки прямой подсчёт даёт \$ab+bc+ac=10\$. Поскольку искомая величина выражается только через две данные симметрические суммы \$a+b+c\$ и \$a^2+b^2+c^2\$, её значение не зависит от конкретного выбора \$a,b,c\$ и равно \$10\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"6d33b13a-8bf1-4ff0-846e-908c093f56fc","code":"tag-98","name":"Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень"}]}},{"problem_id":"63972dbb-187b-4ed1-973e-45219b1d3a9a","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"63972dbb-187b-4ed1-973e-45219b1d3a9a","short_id":17954,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$\\cos 6x+\\cos 5x=\\sin x\$.","answer_text":"\$x = (2k+1)\\pi,\\ \\frac{(1+4k)\\pi}{12},\\ \\frac{(-1+4k)\\pi}{10},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = (2k+1)\\pi,\\ \\frac{(1+4k)\\pi}{12},\\ \\frac{(-1+4k)\\pi}{10},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"4de072db-e3e7-4547-aa67-e84da0deb7ba","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"4de072db-e3e7-4547-aa67-e84da0deb7ba","short_id":17955,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$x^2\\log_6^2 x+6\\log_5^2 x\\leqslant x\\log_6 x\\cdot\\log_5 x^5\$.","answer_text":"\$x = 1,\\ 2\\log_5 6\\leqslant x\\leqslant 3\\log_5 6\$","answer":"\$x = 1,\\ 2\\log_5 6\\leqslant x\\leqslant 3\\log_5 6\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"737c582e-61bc-4f46-8a97-869156e7dda5","code":"tag-108","name":"Однородные уравнения 2-й и 3-й степени"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"c2e15ee8-2369-42fd-a8d8-79adce395ca9","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"c2e15ee8-2369-42fd-a8d8-79adce395ca9","short_id":17956,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Через вершины \$K\$ и \$L\$ треугольника \$KLM\$ проведена окружность, касающаяся прямых \$KM\$ и \$LM\$. На этой окружности выбрана точка \$S\$ (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \$1\$ от прямой \$KL\$. Найдите расстояние от точки \$S\$ до прямой \$LM\$, если известно, что \$\\angle KLS=\\angle LMS\$ и что \$\\angle SLM=45^\\circ\$.","answer_text":"\$\\sqrt{5/2}\$","answer":"\$\\sqrt{5/2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"43c3ff5b-b8c7-472a-aa58-848addf09b5b","code":"tag-66","name":"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"},{"id":"4a0c1f3f-e247-40f9-8e68-0cddab0625d9","code":"tag-70","name":"Расстояние от точки до прямой"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"b0d7d0ff-7b3f-48e6-a22d-981eb51325f4","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b0d7d0ff-7b3f-48e6-a22d-981eb51325f4","short_id":17957,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"$5f","answer_text":"Одну пятую пути от A до B","answer":"Одну пятую пути от A до B","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"11aea1d0-e367-4f0e-b266-8a4f9bc5b86a","code":"tag-14","name":"Задачи на движение по воде"}]}},{"problem_id":"be3b6c19-0226-485d-9d43-b00a42c65956","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"be3b6c19-0226-485d-9d43-b00a42c65956","short_id":17958,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Из вершины \$S\$ на плоскость основания \$KLM\$ пирамиды \$KLMS\$ опущена высота \$SH\$. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \$\\triangle HLM\$, \$\\triangle HKM\$, \$\\triangle HKL\$ равны соответственно \$\\dfrac{2}{10}\$, \$\\dfrac{3}{10}\$, \$\\dfrac{1}{2}\$, и что все три плоских угла при вершине \$S\$ прямые.","answer_text":"\$\\dfrac{\\sqrt[4]{75}}{15}\$","answer":"\$\\dfrac{\\sqrt[4]{75}}{15}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"b552a6b1-3556-43f3-a502-57911d8e44b8","code":"tag-171","name":"Перпендикулярность прямой и плоскости"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"}]}},{"problem_id":"88969049-fa8d-4de9-8ab9-f65d1ff8889f","collection_id":"28065436-5429-4d15-a597-7e081c412f57","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"88969049-fa8d-4de9-8ab9-f65d1ff8889f","short_id":17959,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решите систему уравнений\n\\[\\begin{cases}\\dfrac{x}{\\sin(x^2-y^2)}+y\\cdot\\operatorname{ctg}(x^2-y^2)=\\sqrt{\\dfrac{2\\pi}{3}}\\\\ \\dfrac{y}{\\sin(x^2-y^2)}+x\\cdot\\operatorname{ctg}(x^2-y^2)=-\\sqrt{\\dfrac{\\pi}{2}}\\end{cases}\\]","answer_text":"\$x = 7\\sqrt{\\dfrac{\\pi}{6}},\\ y=-2\\sqrt{2\\pi}\$","answer":"\$x = 7\\sqrt{\\dfrac{\\pi}{6}},\\ y=-2\\sqrt{2\\pi}\$","solution_text":"$62","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf","variant":"июль 2017 года, вариант 2","variant_key":"2017-v2","year":2017},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ