Задача №17959

Решите систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{\sin (x^2-y^2)}+y\cdot \mathrm{ctg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{2\pi }{3}}\\ \frac{y}{\sin (x^2-y^2)}+x\cdot \mathrm{ctg}(x^2-y^2)=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}\end{array}$$

Обозначим $t=x^2-y^2\text{.}$ ОДЗ исходной системы требует $\sin t\ne 0\text{.}$ Умножив оба уравнения на $\sin t\text{,}$ приведём систему к линейному (относительно $x,y$) виду:

$$\{\begin{array}{l}x+y\cos t=A\sin t,\\ x\cos t+y=B\sin t,\end{array}A=\sqrt{\frac{2\pi }{3}},B=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

Определитель этой линейной системы равен $1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t\ne 0\text{,}$ поэтому при любом допустимом $t$ пара $(x,y)$ определена однозначно:

$$x=\frac{A-B\cos t}{\sin t},y=\frac{B-A\cos t}{\sin t}.$$

Ключевое наблюдение: вычислим $x^2-y^2$ через эти выражения. В числителе

$$(A-B\cos t{)}^2-(B-A\cos t{)}^2=(A^2-B^2)(1-{\cos }^{2}t)=(A^2-B^2){\sin }^{2}t,$$

поэтому

$$x^2-y^2=\frac{(A^2-B^2){\sin }^{2}t}{{\sin }^{2}t}=A^2-B^2=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$$

— и это значение НЕ зависит от $t\text{.}$ Но по определению $t=x^2-y^2\text{,}$ значит условие совместности даёт единственное

$$t=x^2-y^2=\frac{\pi }{6}.$$

(Эквивалентно: складывая/вычитая уравнения, получаем $(x+y)\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=A+B$ и $(x-y)\mathrm{tg}\frac{t}{2}=A-B\text{;}$ перемножая, $t=(x+y)(x-y)=(A+B)(A-B)=A^2-B^2=\frac{\pi }{6}\text{.}$)

Подставив $t=\frac{\pi }{6}$ ($\sin t=\frac{1}{2}\ne 0$ — ОДЗ выполнено, $\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$) в формулы для $x,y\text{:}$

$$x=\frac{A-B\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2A-\sqrt{3}B=2\sqrt{\frac{2\pi }{3}}+\sqrt{3}\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{7\sqrt{6\pi }}{6},$$ $$y=\frac{B-A\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2B-\sqrt{3}A=-2\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{3}\sqrt{\frac{2\pi }{3}}=-2\sqrt{2\pi }.$$

Проверка совместности: $x^2-y^2=\frac{49\cdot 6\pi }{36}-4\cdot 2\pi =\frac{49\pi }{6}-8\pi =\frac{49\pi -48\pi }{6}=\frac{\pi }{6}=t$ — согласовано.

Поскольку при каждом допустимом $t$ решение единственно, а условие совместности оставляет ровно одно $t=\frac{\pi }{6}\text{,}$ система имеет единственное решение.

Ответ: $x=\frac{7\sqrt{6\pi }}{6},y=-2\sqrt{2\pi }$ (численно $x\approx 5.0652,y\approx -5.0133$).