Задача №17952

Какое число больше: $\sqrt{\frac{7}{8}+7+\frac{8}{7}}$ или $3\text{?}$

Оба сравниваемых числа неотрицательны, поэтому их сравнение равносильно сравнению квадратов. Квадрат первого числа равен подкоренному выражению

а квадрат второго равен $3^2=9\text{.}$ Сравним подкоренное выражение с числом $9\text{:}$

Для положительных чисел $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{7}\text{,}$ являющихся взаимно обратными, по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

причём равенство было бы только при $\frac{7}{8}=\frac{8}{7}\text{,}$ что неверно. Значит, $\frac{7}{8}+\frac{8}{7}>2\text{,}$ и потому

Прямой подсчёт это подтверждает: $\frac{7}{8}+7+\frac{8}{7}=\frac{49+392+64}{56}=\frac{505}{56}=9+\frac{1}{56}>9\text{.}$

Итак, подкоренное выражение больше $9\text{,}$ значит и его арифметический квадратный корень больше $\sqrt{9}=3\text{.}$ Следовательно, первое число больше.