Задача №17955

Решите неравенство $x^2{\log }_6^{2}x+6{\log }_5^{2}x⩽x{\log }_{6}x\cdot {\log }_5{x}^5\text{.}$

ОДЗ: логарифмы определены лишь при $x>0\text{,}$ поэтому всюду далее $x>0\text{.}$ Обозначим $u={\log }_{6}x\text{,}$ $v={\log }_{5}x\text{.}$ Заметим, что ${\log }_5{x}^5=5{\log }_{5}x=5v\text{.}$ Тогда неравенство

равносильно

Левая часть раскладывается на множители (как квадратный трёхчлен относительно $xu$):

Подставим $u=\frac{\ln x}{\ln 6}\text{,}$ $v=\frac{\ln x}{\ln 5}\text{.}$ Тогда

Поэтому

Множитель $\frac{(\ln x{)}^2}{(\ln 5{)}^2(\ln 6{)}^2}⩾0$ при всех $x>0$ и обращается в нуль только при $x=1\text{.}$ Следовательно, при $x\ne 1$ знак выражения совпадает со знаком произведения

Это парабола относительно $x$ с положительным старшим коэффициентом $(\ln 5{)}^2>0$ и корнями

причём $0<x_1<x_2\text{.}$ Произведение неположительно ровно на отрезке $[x_1,x_2]$ и обращается в нуль на его концах.

Итог. Неравенство выполнено, если либо $(\ln x{)}^2=0\text{,}$ то есть $x=1$ (тогда обе части равны нулю и неравенство — равенство), либо $x_1⩽x⩽x_2\text{.}$ Точка $x=1$ лежит вне отрезка $[x_1,x_2]$ (так как $x_1=2{\log }_{5}6\approx 2,23>1$) и потому является изолированным решением; концы отрезка включаются. ОДЗ $x>0$ для всех этих значений выполнено.