Решите уравнение cos 6x+cos 5x=sin x.

Задача №17954: Уравнение

Решаем уравнение $cos 6 x + cos 5 x = sin x .$ Область определения — все $x \in R$ (обе части определены всюду, посторонних корней по ОДЗ не возникает).

Преобразуем левую часть по формуле суммы косинусов:

cos 6 x + cos 5 x = 2 cos \frac{11 x}{2} cos \frac{x}{2} .

Правую часть распишем через половинный угол: $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} .$ Уравнение принимает вид

2 cos \frac{x}{2} (cos \frac{11 x}{2} - sin \frac{x}{2}) = 0.

Произведение равно нулю, рассматриваем два случая.

Случай 1: $cos \frac{x}{2} = 0 .$ Тогда $\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + π k,$ откуда

x = π + 2 π k = π (2 k + 1), k \in Z .

Случай 2: $cos \frac{11 x}{2} = sin \frac{x}{2} .$ Запишем правую часть как косинус: $sin \frac{x}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) .$ Равенство косинусов $cos A = cos B$ даёт $A = \pm B + 2 π n :$

\frac{11 x}{2} = \pm (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) + 2 π n, n \in Z .

Подслучай 2a (знак «+»):

\frac{11 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{x}{2} + 2 π n \Rightarrow 6 x = \frac{π}{2} + 2 π n \Rightarrow x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3} = \frac{π ( 4 n + 1 )}{12} .

Подслучай 2b (знак «−»):

\frac{11 x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{x}{2} + 2 π n \Rightarrow 5 x = - \frac{π}{2} + 2 π n \Rightarrow x = - \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5} = \frac{π ( 4 n - 1 )}{10} .

Ответ:

x = π (2 k + 1), x = \frac{π ( 4 n + 1 )}{12}, x = \frac{π ( 4 n - 1 )}{10}, k, n \in Z .

Замечание о полноте и пересечениях: серии частично пересекаются (например, корни вида $π (2 k + 1)$ при некоторых значениях совпадают с членами других серий), но это лишь повторное перечисление одних и тех же корней и не вносит ошибки. Общий период уравнения равен $4 π$ (НОК периодов $\frac{π}{3}, \frac{2 π}{5}, 2 π$ ); на нём ровно 24 корня, и все они покрываются указанными тремя сериями.

Задача №17954

Задача #17954

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17954

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация