Задача №17958

Из вершины $S$ на плоскость основания $KLM$ пирамиды $KLMS$ опущена высота $SH\text{.}$ Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников $△HLM\text{,}$ $△HKM\text{,}$ $△HKL$ равны соответственно $\frac{2}{10}\text{,}$ $\frac{3}{10}\text{,}$ $\frac{1}{2}\text{,}$ и что все три плоских угла при вершине $S$ прямые.

Поскольку все три плоских угла при вершине $S$ прямые, поместим $S$ в начало координат, а рёбра $SK\text{,}$ $SL\text{,}$ $SM$ направим по осям: $K=(a,0,0)\text{,}$ $L=(0,b,0)\text{,}$ $M=(0,0,c)\text{,}$ где $a,b,c>0\text{.}$ Тогда грани при $S$ — прямоугольные треугольники с площадями $S_{SLM}=\frac{bc}{2}\text{,}$ $S_{SKM}=\frac{ac}{2}\text{,}$ $S_{SKL}=\frac{ab}{2}\text{.}$

Основание $KLM$ лежит в плоскости $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{.}$ Основание высоты $H$ — проекция $S$ на эту плоскость; вектор $\overrightarrow{SH}$ коллинеарен нормали $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\text{.}$

Ключевой факт (теорема о проекции, проверена символически и численно): площадь каждого из треугольников $HLM\text{,}$ $HKM\text{,}$ $HKL$ равна квадрату площади противоположной прямоугольной грани при $S\text{,}$ делённому на площадь основания:

Так как $S$ проецируется внутрь треугольника $KLM\text{,}$ точка $H$ лежит внутри основания, поэтому

(Согласуется с теоремой де Гуа $S_{KLM}^2=S_{SLM}^2+S_{SKM}^2+S_{SKL}^2\text{.}$)

Отсюда площади прямоугольных граней:

Значит $bc=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{,}$ $ac=\frac{\sqrt{30}}{5}\text{,}$ $ab=\sqrt{2}\text{.}$

Перемножая, $(abc{)}^2=(ab)(ac)(bc)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{30}}{5}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}\text{,}$ откуда $abc=\frac{2\sqrt[4]{3}\sqrt{5}}{5}\text{.}$

Объём прямоугольного тетраэдра равен $V=\frac{1}{6}abc$ (так как $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{ab}{2}\cdot c$). Поэтому

ОДЗ/корректность: все $a,b,c>0\text{;}$ конфигурация существует (явные значения $a=\sqrt[4]{3}\text{,}$ $b=\frac{\sqrt{2}{3}^{3/4}}{3}\text{,}$ $c=\frac{\sqrt{10}\sqrt[4]{3}}{5}$ дают ровно требуемые площади и прямые углы при $S$); посторонних решений нет: площади однозначно определяют попарные произведения $ab,ac,bc\text{,}$ а значит и $abc>0\text{.}$ Численно $V\approx 0,19619\text{.}$