Задача №17953

Легко

Задача #17953

Алгебраические преобразования•10 баллов

Известно, что $a + b + c = 6$ и $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16 .$ Найдите $ab + b c + a c .$

Воспользуемся тождеством для квадрата суммы трёх слагаемых:

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + a c) .

Подставляя данные $a + b + c = 6$ и $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16,$ получаем

6^{2} = 16 + 2 (ab + b c + a c),

то есть

36 = 16 + 2 (ab + b c + a c) ⟹ 2 (ab + b c + a c) = 20 ⟹ ab + b c + a c = 10.

Замечание о существовании. Условие не пусто: например, при $a = b = 2 - \frac{6}{3}, c = 2 + \frac{2 6}{3}$ имеем $a + b + c = 6$ и $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16,$ и для такой тройки прямой подсчёт даёт $ab + b c + a c = 10 .$ Поскольку искомая величина выражается только через две данные симметрические суммы $a + b + c$ и $a^{2} + b^{2} + c^{2},$ её значение не зависит от конкретного выбора $a, b, c$ и равно $10 .$