Задача №17957

Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вверх по реке до пункта B, причем, в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 8 км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт B уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт C, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, расстояние между пунктами B и C равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.

Введём ось вдоль реки: $A=0\text{,}$ $B=L\text{,}$ направление вверх по реке положительное; $C$ — между $A$ и $B\text{,}$ причём $BC=2\text{,}$ то есть $C=L-2\text{.}$ Поскольку Анатолий уже проехал $C$ и развернулся, лишь промчавшись 8 км, точка разворота имеет координату $8\text{,}$ и $C<8\text{,}$ т.е. $L<10\text{.}$

Обозначим эффективные скорости (учитывающие течение): $u$ — скорость катера Анатолия вверх по реке (направление $A\to B$), $d$ — его скорость вниз по реке ($B\to A$), $v$ — скорость второго катера (с друзьями) вверх по реке. Все они постоянны, $d>u$ (течение), и в силу одного течения для всех справедливо $d-u=2w\text{,}$ $v=s_{\text{сл}}-w\text{.}$

Хронология Анатолия.

Момент прибытия Анатолия в $B\text{:}$

Друзья идут $A\to B$ со скоростью $v\text{,}$ их координата в момент $t$ есть $x_f(t)=vt\text{,}$ а момент прибытия в $B\text{:}$

Условие одновременного прибытия $T_A=T_F$ даёт

Встреча. Пока Анатолий идёт вниз из точки $8$ (со времени $t_1$ до $t_1+t_2$), его координата $x_a(t)=8-d(t-t_1)\text{.}$ Встреча со вторым катером: $x_a=x_f\text{,}$ то есть $8-d(t-t_1)=vt\text{.}$ Отсюда координата встречи

Из (1) и (2) сразу видно, что $x_{\text{встр}}=\frac{8}{10}L=\frac{4}{5}L\text{.}$ Следовательно, друзьям от момента встречи оставалось пройти

то есть ровно одну пятую всего пути от $A$ до $B\text{.}$ Результат не зависит от конкретных значений скоростей, течения и $L$ — он полностью определяется числами 8 (разворот) и $2=BC\text{.}$

Проверка ОДЗ/физичности. Нужно $0<C<8$ (т.е. $2<L<10$) и $d>u>0\text{,}$ $v>0\text{;}$ встреча обязана попадать в фазу спуска $t_1\le t_{\text{встр}}\le t_1+t_2\text{.}$ Конкретный непротиворечивый пример: $s_A=20\text{,}$ течение $w=5$ ($u=15,d=25$), $L=9$ ($C=7<8$); тогда из (1) $v=\frac{675}{53}\approx 12.74$ (медленнее Анатолия — согласовано), встреча в $x=7.2$ км попадает между $C=7$ и $8\text{,}$ оба прибывают в $B$ за $0.7067$ ч одновременно, и друзьям остаётся $1.8$ км из $9$ — ровно $\frac{1}{5}\text{.}$