Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Через вершины K и L треугольника KLM проведена окружность, касающаяся прямых KM и LM. На этой окружности выбрана точка S (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой KL. Найдите расстояние от точки S до прямой LM, если известно, что ∠KLS=∠LMS и что ∠SLM=45∘.
Окружность проходит через точки K и L и касается прямых KM и LM. Так как K лежит и на окружности, и на прямой KM, то именно K — точка касания на прямой KM; аналогично L — точка касания на прямой LM. Поэтому MK и ML — касательные из точки M, и MK=ML, то есть треугольник KLM равнобедренный.
Введём обозначения для углов: ∠SLM=45∘ (дано) и β=∠KLS. По условию ∠LMS=β.
Обозначим искомое расстояние от S до прямой LM через q, расстояние от S до прямой KL через p (по условию p=1).
Выразим эти расстояния через хорду SL. Опуская из S перпендикуляры на прямые LM и KL, в соответствующих прямоугольных треугольниках получаем
q=SL⋅sin∠SLM=SLsin45∘,p=SL⋅sin∠SLK=SLsinβ.Отсюда сразу
pq=sinβsin45∘.(1)Остаётся найти β.
Используем угол при касательной. По теореме об угле между касательной и хордой (касательная LM, хорда LS) угол ∠SLM равен вписанному углу ∠SKL, опирающемуся на ту же дугу LS:
∠SKL=∠SLM=45∘.Применим теорему синусов в треугольнике KLS (где ∠SLK=β, ∠SKL=45∘, а значит ∠KSL=135∘−β):
sin∠KSLKL=sin∠SKLSL⟹KL=SL⋅sin45∘sin(135∘−β).(2)Теперь свяжем KL с касательной ML. Точка S лежит на дуге между K и L, внутри треугольника, и луч LS проходит между LM и LK, поэтому
∠MLK=∠SLM+∠SLK=45∘+β.Треугольник KLM равнобедренный (MK=ML) с основанием KL; его углы при основании равны ∠MLK=∠MKL=45∘+β, поэтому
KL=2MLcos(45∘+β).(3)Наконец, рассмотрим треугольник LMS: в нём ∠SLM=45∘, ∠LMS=β, значит ∠LSM=135∘−β. По теореме синусов
sin∠LMSSL=sin∠LSMML⟹ML=SL⋅sinβsin(135∘−β).(4)Подставляя (4) в (3) и приравнивая результат к (2), сокращаем общий множитель SLsin(135∘−β) (он положителен, так как 0<β<90∘):
sinβ2cos(45∘+β)=sin45∘1⟹2cos(45∘+β)=sinβ.Раскрывая косинус суммы и учитывая 2cos45∘=2sin45∘=1, получаем
cosβ−sinβ=sinβ⟹cosβ=2sinβ⟹tgβ=21.Из tgβ=21 (где β острый) находим sinβ=51.
Подставляя в (1) и учитывая p=1:
q=p⋅sinβsin45∘=1⋅5122=225=210=25.Корректность: найденное β=arctg21≈26,57∘ острое, все углы треугольников KLS, LMS, KLM положительны (45∘+β<90∘), точка S действительно лежит внутри треугольника, и расстояние p=1 согласовано. Численная проверка построением даёт расстояние до LM, равное 1,5811…=5/2.
q=25=210.