58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T586,\[2\cos 2x+3\sin 2x+4\cos^2 x=-1.\] Перенесём $-1$ влево и представим $1=\sin^2 x+\cos^2 x$: \[2\cos 2x+3\sin 2x+4\cos^2 x+\sin^2 x+\cos^2 x=0.\] Подставим $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$: \[2(\cos^2 x-\sin^2 x)+6\sin x\cos x+5\cos^2 x+\sin^2 x=0,\] \[-\sin^2 x+6\sin x\cos x+7\cos^2 x=0.\] ОДЗ: выражение определено при всех $x\in\mathbb{R}$ (нет деления и логарифмов). Проверим, не теряем ли корни при делении на $\cos^2 x$: если $\cos x=0$, то $\sin^2 x=1$ и левая часть равна $-1\neq 0$, значит $\cos x\neq 0$ для любого решения, и деление на $\cos^2 x$ законно. Получаем уравнение относительно $t=\operatorname{tg}x$: \[-\operatorname{tg}^2 x+6\operatorname{tg}x+7=0 \iff \operatorname{tg}^2 x-6\operatorname{tg}x-7=0 \iff (\operatorname{tg}x-7)(\operatorname{tg}x+1)=0.\] Отсюда \[\operatorname{tg}x=-1 \quad\text{или}\quad \operatorname{tg}x=7,\] то есть \[x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \quad\text{или}\quad x=\operatorname{arctg}7+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Все преобразования равносильны (деление на $\cos^2 x\neq 0$ обосновано выше), посторонних корней нет.5c:Taee,Введём замену $t=\log_7 x$. Тогда $\log_x 7=\dfrac{1}{t}$, основание логарифма равно $1+\log_x 7=\dfrac{t+1}{t}$, а аргумент $1+\log_7^2 x=1+t^2$. Неравенство принимает вид \[\log_{\frac{t+1}{t}}\bigl(1+t^2\bigr)\le 1.\] **ОДЗ.** Нужно $x>0$ и $x\neq 1$ (чтобы $\log_x 7$ был определён), что равносильно $t\in\mathbb{R},\ t\neq 0$. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от $1$: $\dfrac{t+1}{t}>0$ даёт $t<-1$ или $t>0$; при этом $\dfrac{t+1}{t}=1+\dfrac{1}{t}\neq 1$ автоматически (так как $\dfrac1t\neq 0$). Аргумент $1+t^2\ge 1>0$ определён всегда. Случай $-1\le t<0$ (а также $t=0$, $t=-1$) исключён ОДЗ. **Разбор по основанию.** Запишем $\log_b A\le 1\iff \log_b A-\log_b b\le 0$. Знак раскрывается по основанию $b=\dfrac{t+1}{t}$. *Случай 1: $t>0$.* Тогда $b=1+\dfrac1t>1$, и неравенство равносильно $A\le b$: \[1+t^2\le\frac{t+1}{t}.\] Умножая на $t>0$, получаем $t(1+t^2)\le t+1$, то есть $t^3+t-t-1\le 0$, что сводится к \[t^3-1\le 0\ \iff\ (t-1)(t^2+t+1)\le 0.\] Так как $t^2+t+1>0$ при всех $t$, остаётся $t-1\le 0$, то есть $t\le 1$. С учётом $t>0$ получаем $t\in(0,1]$. *Случай 2: $t<-1$.* Тогда $b=\dfrac{t+1}{t}\in(0,1)$ (например при $t=-2$ основание $\tfrac12$), и знак неравенства при логарифмировании меняется: $\log_b A\le 1\iff A\ge b$: \[1+t^2\ge\frac{t+1}{t}.\] Умножая на $t<0$ (знак меняется), снова приходим к $(t-1)(t^2+t+1)\le 0$, что при $t<-1$ выполнено всегда ($t-1<0$). Значит подходит весь луч $t<-1$. **Сбор ответа и возврат к $x$.** Решение по $t$: $t\in(-\infty,-1)\cup(0,1]$. Возвращаясь к $x=7^t$ (функция $7^t$ монотонно возрастает): \[t\in(-\infty,-1)\ \Rightarrow\ x\in\Bigl(0,\tfrac17\Bigr),\qquad t\in(0,1]\ \Rightarrow\ x\in(1,7].\] Границы: при $t=-1$ ($x=\tfrac17$) основание обращается в нуль — точка исключена; при $t=0$ ($x=1$) логарифм $\log_x 7$ не определён — исключена; при $t=1$ ($x=7$) имеем $\log_2 2=1\le 1$ — точка включена. Ответ: $x\in\left(0,\dfrac17\right)\cup(1,7]$.5d:Tb08,Обозначим радиусы внутренней и внешней окружностей через $r$ и $R$, $r:R=7:10$. **1. Гомотетия в точке касания.** Внутреннее касание окружностей в точке $P$ задаёт гомотетию $h$ с центром $P$ и коэффициентом $R/r$, переводящую внутреннюю окружность во внешнюю. Касательная к внутренней окружности в точке $S$ (это прямая $QR$) переходит при $h$ в параллельную ей касательную к внешней окружности. Образ $h(S)$ лежит на прямой $PS$ и на внешней окружности, то есть $h(S)=T$. Значит касательная к внешней окружности в точке $T$ параллельна $QR$, поэтому $T$ — середина дуги $QR$, откуда \[TQ=TR.\] Кроме того $PT/PS=R/r$ (подтверждено численно: $PT/PS=10/7$). **2. Параллельность и равные стороны.** По условию $PQ\parallel RT$, значит $PQTR$ — трапеция с основаниями $PQ$ и $RT$. Так как $T$ — середина дуги $QR$, дуги $TQ$ и $TR$ равны, а $PQ\parallel RT$ даёт равенство дуг $PR$ и $TQ$; поэтому \[QT=RT=PR\quad(=t),\qquad PQ:RT=7:3.\] (Все эти соотношения подтверждены прямым координатным расчётом: $QT=RT=PR$, $PQ/RT=7/3$.) **3. Площадь трапеции.** Имеем равнобокую трапецию с основаниями $PQ=\dfrac{7}{3}t$ и $RT=t$ и боковыми сторонами $QT=PR=t$. Снос вершины \[\frac{PQ-RT}{2}=\frac{\tfrac{7}{3}t-t}{2}=\frac{2}{3}t,\] высота \[h=\sqrt{t^2-\Big(\tfrac{2}{3}t\Big)^2}=\frac{\sqrt5}{3}\,t.\] Площадь \[S_{PQTR}=\frac{PQ+RT}{2}\cdot h=\frac{\tfrac{7}{3}t+t}{2}\cdot\frac{\sqrt5}{3}t=\frac{5\sqrt5}{9}\,t^2.\] **4. Нахождение $QT$.** По условию $S_{PQTR}=5\sqrt5$: \[\frac{5\sqrt5}{9}\,t^2=5\sqrt5\ \Longrightarrow\ t^2=9\ \Longrightarrow\ t=3.\] Поскольку $QT=t$, получаем $QT=3$. **ОДЗ/края.** Все длины положительны, $t=3>0$ — единственный геометрически допустимый корень (отрицательный отброшен). Конфигурация невырождена: вторая алгебраическая ветвь даёт нулевую трапецию (совпадение точек) и не подходит.5e:Te92,Примем весь путь $AB$ за единицу, координату будем отсчитывать от $A$ (то есть $A$ имеет координату $0$, а $B$ — координату $1$). Время будем мерить в часах, отсчитывая от $13{:}00$ (то есть $t=0$ соответствует $13{:}00$, а прибытие пешехода в $17{:}00$ — моменту $t=4$). Скорости мотоциклиста, пешехода и автомобиля обозначим $V_m,V_p,V_c>0$ (все движения равномерные). $\textbf{Мотоциклист.}$ Он стартует из $A$ в момент $t=0$ и движется к $B$: его координата $x_m(t)=V_m t$. Четверть пути он проезжает в момент \[t_1=\frac{1/4}{V_m},\] а в $B$ прибывает в момент \[t_B=\frac{1}{V_m}.\] $\textbf{Пешеход.}$ Он идёт в сторону $A$ (координата убывает) и в момент $t_1$ находится в той же точке $x=\tfrac14$, что и мотоциклист (они поравнялись). Значит \[x_p(t)=\tfrac14-V_p\,(t-t_1).\] Пешеход приходит в $A$ в $17{:}00$, то есть $x_p(4)=0$: \[V_p\,(4-t_1)=\tfrac14. \qquad (1)\] $\textbf{Автомобиль.}$ Он выезжает из $B$ (точка $x=1$) в тот же момент $t_B$, когда мотоциклист прибыл в $B$, и едет к $A$: $x_c(t)=1-V_c\,(t-t_B)$. Когда до $A$ остаётся пятая часть пути, автомобиль находится в точке $x=\tfrac15$; пусть это момент $t_2$. В этот момент он поравнялся с тем же пешеходом, поэтому и пешеход в точке $x=\tfrac15$: \[\tfrac14-V_p\,(t_2-t_1)=\tfrac15 \;\Longrightarrow\; V_p\,(t_2-t_1)=\tfrac1{20} \;\Longrightarrow\; t_2=t_1+\frac{1/20}{V_p}.\] Условие на автомобиль: \[V_c\,(t_2-t_B)=\frac45. \qquad (2)\] $\textbf{Решение системы.}$ Из (1): $V_p=\dfrac{1/4}{4-t_1}$. Подставляя $t_1=\dfrac{1}{4V_m}$, удобнее выразить искомые скорости через $V_m$. Решая (1) и (2) совместно относительно $V_p$ и $V_c$, получаем \[V_p=\frac{V_m}{16V_m-1},\qquad V_c=\frac{V_m}{V_m-1}.\] (При этом для положительности $V_c$ нужно $V_m>1$; тогда автоматически $V_p>0$, а проверка показывает, что все события упорядочены корректно: $t_10$. Точка $T$ на ребре $MN$ с $MT:TN=1:4$: $T=M+\tfrac15(N-M)=(-6,4\sqrt3,0)$. Плоскость $\pi$ задаётся нормалью $\mathbf n$. Условия: $\mathbf n\perp \overrightarrow{LM}$ ($\pi\parallel LM$) и $\mathbf n\perp \mathbf n_{OPV}$ ($\pi\perp$ плоскости $OPV$). Здесь $\overrightarrow{LM}=(-10,0,0)$, $\mathbf n_{OPV}=\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OV}=(0,-10h,50\sqrt3)$. Тогда \[\mathbf n=\overrightarrow{LM}\times\mathbf n_{OPV}=(0,\,5\sqrt3,\,h)\quad(\text{с точностью до множителя}),\] а сама плоскость: $\mathbf n\cdot(X-T)=0$. Определение $h$. Точка $T$ лежит на ребре $MN$, принадлежащем и основанию, и грани $MNV$; поэтому обе прямые пересечения проходят через $T$. Направление прямой $\pi\cap(\text{основание})$: $\mathbf n\times(0,0,1)=(5\sqrt3,0,0)\parallel(1,0,0)$. Направление прямой $\pi\cap(MNV)$: $\mathbf n\times \mathbf n_{MNV}$, где $\mathbf n_{MNV}=\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MV}=(-5\sqrt3 h,5h,50\sqrt3)$; получаем $(750-5h^2,\,-5\sqrt3 h^2,\,75h)$. Перпендикулярность этих прямых: \[(1,0,0)\cdot(750-5h^2,\dots)=0\ \Rightarrow\ 750-5h^2=0\ \Rightarrow\ h=5\sqrt6.\] Сечение грани $NOV$. При $h=5\sqrt6$ значения $f(X)=\mathbf n\cdot(X-T)$: $f(N)=-60,\ f(O)=-135,\ f(V)=+90$. Знак при $V$ отличается, значит $\pi$ пересекает рёбра $VN$ и $VO$ внутри грани и отсекает треугольник при вершине $V$: \[A=\pi\cap VN,\ VA:VN=3:5,\ A=(-6,0,2\sqrt6);\qquad B=\pi\cap VO,\ VB:VO=2:5,\ B=(-2,-2\sqrt3,3\sqrt6).\] Так как $VN=VO=5\sqrt{10}$, то $VA=3\sqrt{10},\ VB=2\sqrt{10}$. Площадь: \[S=\tfrac12\,\bigl|\overrightarrow{VA}\times\overrightarrow{VB}\bigr|=18.\] Эквивалентно $S=\dfrac{VA\cdot VB}{VN\cdot VO}\,S_{NOV}=\dfrac{3\cdot2}{5\cdot5}\cdot 75=18$, где площадь грани $S_{NOV}=75$. ОДЗ/края: параметры $t=3/5$ и $2/5$ строго внутри $(0,1)$ — треугольник невырожден; $N,O$ лежат по одну сторону от $\pi$, посторонних точек пересечения с гранью нет; $h=5\sqrt6$ — единственный положительный корень. [!] Расхождение с официальным ключом: ключ указывает $9\sqrt2$. Моя строгая выкладка даёт ровно 18. Заметим $9\sqrt2=18/\sqrt2$ — похоже на потерю/добавление множителя $\sqrt2$ (например проекция) в официальном решении. При данной постановке геометрически корректный результат — 18.60:Tc33,Обозначим $u=\log_a\cos ax$, $v=\log_a\sin ax$, $w=\log_a\operatorname{tg}ax$. Так как $\operatorname{tg}ax=\dfrac{\sin ax}{\cos ax}$, то $w=v-u$. ОДЗ: $a>0,\ a\neq1$ и $\cos ax>0,\ \sin ax>0,\ \operatorname{tg}ax>0$ (иначе логарифмы не определены). Используя $\log_a\cos^8 ax=8u$, $\log_a\sin^2 ax=2v$, $\log_a\operatorname{tg}^{10}ax=10w$, выделим полные квадраты под корнями: \[65+u^2-8u=(u-4)^2+7^2,\quad 10+v^2+2v=(v+1)^2+3^2,\quad 125+w^2-10w=(w-5)^2+10^2.\] Значит выражение равно \[S=\sqrt{(4-u)^2+7^2}+\sqrt{(v+1)^2+3^2}+\sqrt{(5-w)^2+10^2},\qquad w=v-u.\] Это сумма длин трёх векторов \[\vec p_1=(4-u,\,7),\quad \vec p_2=(v+1,\,3),\quad \vec p_3=(5-w,\,10)=(5-v+u,\,10).\] По неравенству Минковского $|\vec p_1|+|\vec p_2|+|\vec p_3|\ge|\vec p_1+\vec p_2+\vec p_3|$. Горизонтальные компоненты телескопически сокращаются ($u$ и $v$ уходят): \[(4-u)+(v+1)+(5-v+u)=10,\] а вертикальные дают $7+3+10=20$. Поэтому \[S\ge\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{500}=10\sqrt5.\] Равенство в неравенстве Минковского достигается, когда все три вектора сонаправлены с суммарным $(10,20)\parallel(1,2)$, то есть у каждого отношение горизонтали к вертикали равно $\tfrac12$: \[\frac{4-u}{7}=\frac12\Rightarrow u=\tfrac12,\quad \frac{v+1}{3}=\frac12\Rightarrow v=\tfrac12,\quad \frac{5-w}{10}=\frac12\Rightarrow w=0.\] Связь $w=v-u=\tfrac12-\tfrac12=0$ выполнена автоматически, так что минимум $10\sqrt5$ действительно достижим. Точка $(u,v)=(\tfrac12,\tfrac12)$ — единственная критическая точка функции (проверено), значит набор $u=v=\tfrac12,\ w=0$ единствен. Переходим к $(a,x)$: \[\log_a\cos ax=\tfrac12\Rightarrow\cos ax=\sqrt a,\quad \log_a\sin ax=\tfrac12\Rightarrow\sin ax=\sqrt a,\quad \log_a\operatorname{tg}ax=0\Rightarrow\operatorname{tg}ax=1.\] Из $\sin ax=\cos ax=\sqrt a>0$ и $\sin^2ax+\cos^2ax=1$ получаем $2a=1$, то есть $a=\tfrac12$ (условие $a>0,a\neq1$ выполнено). Тогда $\cos ax=\sin ax=\tfrac{1}{\sqrt2}>0$, $\operatorname{tg}ax=1$, откуда $ax=\tfrac{\pi}{4}+2\pi k$ (только первая четверть; в третьей четверти $ax=\tfrac{5\pi}{4}+2\pi k$ синус и косинус отрицательны и логарифмы не определены — ОДЗ отбрасывает её). При $a=\tfrac12$: \[x=\frac{ax}{a}=2\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)=\tfrac{\pi}{2}+4\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] Ответ: наименьшее значение равно $10\sqrt5$, достигается при $a=\tfrac12,\ x=\tfrac{\pi}{2}+4\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 4\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 4\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2016-v4\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T09:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 4\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2016 — вариант 4-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 4"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2016-v4","serverCollection":{"id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","name":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 4","code":"dvi-math-2016-v4","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_04.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2016 года, вариант 4","visible_problem_count":8,"year":2016},"created_at":"2026-06-10T09:00:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"d5a45293-c269-4d40-91fb-a4481750a51f","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"d5a45293-c269-4d40-91fb-a4481750a51f","short_id":17936,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Найдите \$f\\left(\\dfrac{5}{3}\\right)\$, если \$f(x)=\\dfrac{x}{x-1}-\\dfrac{4}{9}\$.","answer_text":"\$37/18\$","answer":"\$37/18\$","solution_text":"Подставим \$x=\\dfrac{5}{3}\$ в функцию \$f(x)=\\dfrac{x}{x-1}-\\dfrac{4}{9}\$.\n\nОДЗ: требуется \$x\\neq 1\$. Поскольку \$x=\\dfrac{5}{3}\\neq 1\$, знаменатель \$x-1=\\dfrac{2}{3}\\neq 0\$, и значение определено.\n\nВычислим первое слагаемое:\n\\[\\frac{x}{x-1}=\\frac{\\tfrac{5}{3}}{\\tfrac{5}{3}-1}=\\frac{\\tfrac{5}{3}}{\\tfrac{2}{3}}=\\frac{5}{2}.\\]\n\nТогда\n\\[f\\!\\left(\\frac{5}{3}\\right)=\\frac{5}{2}-\\frac{4}{9}=\\frac{45-8}{18}=\\frac{37}{18}.\\]\n\nДробь \$\\dfrac{37}{18}\$ несократима, так как \$37\$ — простое число и не делит \$18\$.\n\nОтвет: \$\\dfrac{37}{18}\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"1b7fbd5f-a0b9-46d8-b2b2-a9b8e6caf1e3","code":"tag-26","name":"Функция, область определения функции"}]}},{"problem_id":"be78da36-e30c-435d-88c0-1f1c803f9be3","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"be78da36-e30c-435d-88c0-1f1c803f9be3","short_id":17937,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \$x^2+ax+10=0\$ равна 3. Найдите все возможные значения \$a\$.","answer_text":"\$\\pm 7\$","answer":"\$\\pm 7\$","solution_text":"Уравнение \$x^2+ax+10=0\$ имеет два различных вещественных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен:\n\\[D=a^2-40>0.\\]\n\nПусть \$x_1\\le x_2\$ — корни. По теореме Виета \$x_1+x_2=-a,\\ x_1 x_2=10\$. Разность наибольшего и наименьшего корней неотрицательна и равна\n\\[x_2-x_1=\\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\\sqrt{a^2-40}.\\]\n\nПо условию эта разность равна \$3\$:\n\\[\\sqrt{a^2-40}=3\\ \\Longrightarrow\\ a^2-40=9\\ \\Longrightarrow\\ a^2=49\\ \\Longrightarrow\\ a=\\pm 7.\\]\n\nПроверим выполнение условия \$D>0\$: при \$a=\\pm 7\$ имеем \$D=49-40=9>0\$, то есть корни действительно вещественны и различны. Убедимся напрямую: при \$a=-7\$ корни \$2\$ и \$5\$ (разность \$3\$), при \$a=7\$ корни \$-5\$ и \$-2\$ (разность \$3\$). Оба значения подходят.\n\nОтвет: \$a=\\pm 7\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"22672e5c-5177-4e5b-af38-f94c30141dc6","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"22672e5c-5177-4e5b-af38-f94c30141dc6","short_id":17938,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$2\\cos 2x+3\\sin 2x+4\\cos^2 x=-1\$.","answer_text":"\$x = -\\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}7+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = -\\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}7+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"74abdef8-a765-412d-9b03-06b47b579ea8","code":"tag-110","name":"Формулы приведения"},{"id":"75ef9492-f0a9-4464-a247-0ae40d879afd","code":"tag-111","name":"Однородные тригонометрические уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"050a8cfd-bf2c-4f02-8cc7-2d15b58925eb","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"050a8cfd-bf2c-4f02-8cc7-2d15b58925eb","short_id":17939,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство \$\\log_{1+\\log_x 7}(1+\\log_7^2 x)\\leqslant 1\$.","answer_text":"\$x \\in \\left(0,\\tfrac{1}{7}\\right)\\cup(1,7]\$","answer":"\$x \\in \\left(0,\\tfrac{1}{7}\\right)\\cup(1,7]\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"e434ff0c-746e-48c6-b119-0c983872b720","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"e434ff0c-746e-48c6-b119-0c983872b720","short_id":17940,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Две окружности касаются внутренним образом в точке \$P\$. Хорда \$QR\$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке \$S\$. Прямая \$PS\$ пересекает внешнюю окружность в точках \$P\$ и \$T\$. Найдите \$QT\$, если известно, что \$PQ\\parallel RT\$, площадь четырёхугольника \$PQTR\$ равна \$5\\sqrt{5}\$, а радиусы окружностей относятся как \$7:10\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"4f31a990-44ca-4f91-ac8e-b7043c4d1f54","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"4f31a990-44ca-4f91-ac8e-b7043c4d1f54","short_id":17941,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Ровно в 13:00 из пункта А в пункт Б выехал мотоциклист. Проехав четверть пути, наблюдательный мотоциклист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда мотоциклист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автомобиль. Когда до пункта А оставалось пятая часть пути, не менее наблюдательный водитель автомобиля заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько приехал автомобиль в пункт А, если известно, что пешеход прибыл в пункт А ровно в 17:00? Скорости пешехода, мотоцикла и автомобиля считать постоянными.","answer_text":"В 14:00","answer":"В 14:00","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"9e643d2b-7a7f-4452-a41c-b237ce5b1458","code":"tag-140","name":"Разные задачи с прикладным содержанием"}]}},{"problem_id":"8f0e4769-9ec0-4ae4-849c-de7050dae8c8","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8f0e4769-9ec0-4ae4-849c-de7050dae8c8","short_id":17942,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В основании правильной пирамиды с вершиной \$V\$ лежит шестиугольник \$KLMNOP\$ со стороной 10. Плоскость \$\\pi\$ параллельна ребру \$LM\$, перпендикулярна плоскости \$OPV\$ и пересекает ребро \$MN\$ в точке \$T\$, так что \$MT:TN=1:4\$. Кроме того, прямые, по которым \$\\pi\$ пересекает плоскость \$MNV\$ и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \$\\pi\$ от грани \$NOV\$.","answer_text":"\$9\\sqrt{2}\$","answer":"\$9\\sqrt{2}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"828427c8-b848-48f8-ac7f-625596f7ce1f","code":"tag-122","name":"Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости"},{"id":"8999d63d-f4fc-41e6-aeec-9bb19b6e3182","code":"tag-126","name":"Правильная шестиугольная пирамида"},{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"}]}},{"problem_id":"6a79758c-e7e3-464e-8e37-c63723f0c084","collection_id":"b8dfeb01-0e1d-432c-a0c7-1ed889ecfeec","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"6a79758c-e7e3-464e-8e37-c63723f0c084","short_id":17943,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":10,"content_text":"Найдите наименьшее значение выражения\n\\[\\sqrt{65+\\log_a^2\\cos ax-\\log_a\\cos^8 ax}+\\sqrt{10+\\log_a^2\\sin ax+\\log_a\\sin^2 ax}+\\sqrt{125+\\log_a^2\\operatorname{tg}ax-\\log_a\\operatorname{tg}^{10} ax}\\]\nи все пары \$(a,x)\$, при которых оно достигается.","answer_text":"\$10\\sqrt{5},\\ a=1/2,\\ x=\\frac{\\pi}{2}+4k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$10\\sqrt{5},\\ a=1/2,\\ x=\\frac{\\pi}{2}+4k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 4","variant_key":"2016-v4","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]