Задача №17939

Решите неравенство ${\log }_{1+{\log }_{x}7}(1+{\log }_7^{2}x)⩽1\text{.}$

Введём замену $t={\log }_{7}x\text{.}$ Тогда ${\log }_{x}7=\frac{1}{t}\text{,}$ основание логарифма равно $1+{\log }_{x}7=\frac{t+1}{t}\text{,}$ а аргумент $1+{\log }_7^{2}x=1+t^2\text{.}$ Неравенство принимает вид

ОДЗ. Нужно $x>0$ и $x\ne 1$ (чтобы ${\log }_{x}7$ был определён), что равносильно $t\in \mathbb{R},t\ne 0\text{.}$ Основание логарифма должно быть положительным и отличным от $1\text{:}$ $\frac{t+1}{t}>0$ даёт $t<-1$ или $t>0\text{;}$ при этом $\frac{t+1}{t}=1+\frac{1}{t}\ne 1$ автоматически (так как $\frac{1}{t}\ne 0$). Аргумент $1+t^2\ge 1>0$ определён всегда. Случай $-1\le t<0$ (а также $t=0\text{,}$ $t=-1$) исключён ОДЗ.

Разбор по основанию. Запишем ${\log }_{b}A\le 1⟺{\log }_{b}A-{\log }_{b}b\le 0\text{.}$ Знак раскрывается по основанию $b=\frac{t+1}{t}\text{.}$

Случай 1: $t>0\text{.}$ Тогда $b=1+\frac{1}{t}>1\text{,}$ и неравенство равносильно $A\le b\text{:}$

Умножая на $t>0\text{,}$ получаем $t(1+t^2)\le t+1\text{,}$ то есть $t^3+t-t-1\le 0\text{,}$ что сводится к

Так как $t^2+t+1>0$ при всех $t\text{,}$ остаётся $t-1\le 0\text{,}$ то есть $t\le 1\text{.}$ С учётом $t>0$ получаем $t\in (0,1]\text{.}$

Случай 2: $t<-1\text{.}$ Тогда $b=\frac{t+1}{t}\in (0,1)$ (например при $t=-2$ основание $\frac{1}{2}$), и знак неравенства при логарифмировании меняется: ${\log }_{b}A\le 1⟺A\ge b\text{:}$

Умножая на $t<0$ (знак меняется), снова приходим к $(t-1)(t^2+t+1)\le 0\text{,}$ что при $t<-1$ выполнено всегда ($t-1<0$). Значит подходит весь луч $t<-1\text{.}$

Сбор ответа и возврат к $x\text{.}$ Решение по $t\text{:}$ $t\in (-\infty ,-1)\cup (0,1]\text{.}$ Возвращаясь к $x=7^t$ (функция $7^t$ монотонно возрастает):

Границы: при $t=-1$ ($x=\frac{1}{7}$) основание обращается в нуль — точка исключена; при $t=0$ ($x=1$) логарифм ${\log }_{x}7$ не определён — исключена; при $t=1$ ($x=7$) имеем ${\log }_{2}2=1\le 1$ — точка включена.

Ответ: $x\in \left(0,\frac{1}{7}\right)\cup (1,7]\text{.}$