Задача №17940

Две окружности касаются внутренним образом в точке $P\text{.}$ Хорда $QR$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $S\text{.}$ Прямая $PS$ пересекает внешнюю окружность в точках $P$ и $T\text{.}$ Найдите $QT\text{,}$ если известно, что $PQ\parallel RT\text{,}$ площадь четырёхугольника $PQTR$ равна $5\sqrt{5}\text{,}$ а радиусы окружностей относятся как $7:10\text{.}$

Обозначим радиусы внутренней и внешней окружностей через $r$ и $R\text{,}$ $r:R=7:10\text{.}$

1. Гомотетия в точке касания. Внутреннее касание окружностей в точке $P$ задаёт гомотетию $h$ с центром $P$ и коэффициентом $R/r\text{,}$ переводящую внутреннюю окружность во внешнюю. Касательная к внутренней окружности в точке $S$ (это прямая $QR$) переходит при $h$ в параллельную ей касательную к внешней окружности. Образ $h(S)$ лежит на прямой $PS$ и на внешней окружности, то есть $h(S)=T\text{.}$ Значит касательная к внешней окружности в точке $T$ параллельна $QR\text{,}$ поэтому $T$ — середина дуги $QR\text{,}$ откуда

Кроме того $PT/PS=R/r$ (подтверждено численно: $PT/PS=10/7$).

2. Параллельность и равные стороны. По условию $PQ\parallel RT\text{,}$ значит $PQTR$ — трапеция с основаниями $PQ$ и $RT\text{.}$ Так как $T$ — середина дуги $QR\text{,}$ дуги $TQ$ и $TR$ равны, а $PQ\parallel RT$ даёт равенство дуг $PR$ и $TQ\text{;}$ поэтому

(Все эти соотношения подтверждены прямым координатным расчётом: $QT=RT=PR\text{,}$ $PQ/RT=7/3\text{.}$)

3. Площадь трапеции. Имеем равнобокую трапецию с основаниями $PQ=\frac{7}{3}t$ и $RT=t$ и боковыми сторонами $QT=PR=t\text{.}$ Снос вершины

высота

Площадь

4. Нахождение $QT\text{.}$ По условию $S_{PQTR}=5\sqrt{5}\text{:}$

Поскольку $QT=t\text{,}$ получаем $QT=3\text{.}$

ОДЗ/края. Все длины положительны, $t=3>0$ — единственный геометрически допустимый корень (отрицательный отброшен). Конфигурация невырождена: вторая алгебраическая ветвь даёт нулевую трапецию (совпадение точек) и не подходит.