Задача №17942

В основании правильной пирамиды с вершиной $V$ лежит шестиугольник $KLMNOP$ со стороной 10. Плоскость $\pi$ параллельна ребру $LM\text{,}$ перпендикулярна плоскости $OPV$ и пересекает ребро $MN$ в точке $T\text{,}$ так что $MT:TN=1:4\text{.}$ Кроме того, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскость $MNV$ и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $\pi$ от грани $NOV\text{.}$

Введём координаты. Правильный шестиугольник $KLMNOP$ со стороной 10 имеет радиус описанной окружности $R=10\text{.}$ Поместим центр в начало, вершины по углам $60^{\circ }k\text{:}$

Вершина правильной пирамиды $V=(0,0,h)$ с пока неизвестной высотой $h>0\text{.}$

Точка $T$ на ребре $MN$ с $MT:TN=1:4\text{:}$ $T=M+\frac{1}{5}(N-M)=(-6,4\sqrt{3},0)\text{.}$

Плоскость $\pi$ задаётся нормалью $\mathbf{n}\text{.}$ Условия: $\mathbf{n}\perp \overrightarrow{LM}$ ($\pi \parallel LM$) и $\mathbf{n}\perp {\mathbf{n}}_{OPV}$ ($\pi \perp$ плоскости $OPV$). Здесь $\overrightarrow{LM}=(-10,0,0)\text{,}$ ${\mathbf{n}}_{OPV}=\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OV}=(0,-10h,50\sqrt{3})\text{.}$ Тогда

а сама плоскость: $\mathbf{n}\cdot (X-T)=0\text{.}$

Определение $h\text{.}$ Точка $T$ лежит на ребре $MN\text{,}$ принадлежащем и основанию, и грани $MNV\text{;}$ поэтому обе прямые пересечения проходят через $T\text{.}$ Направление прямой $\pi \cap (\text{основание})\text{:}$ $\mathbf{n}\times (0,0,1)=(5\sqrt{3},0,0)\parallel (1,0,0)\text{.}$ Направление прямой $\pi \cap (MNV)\text{:}$ $\mathbf{n}\times {\mathbf{n}}_{MNV}\text{,}$ где ${\mathbf{n}}_{MNV}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MV}=(-5\sqrt{3}h,5h,50\sqrt{3})\text{;}$ получаем $(750-5h^2,-5\sqrt{3}{h}^2,75h)\text{.}$ Перпендикулярность этих прямых:

Сечение грани $NOV\text{.}$ При $h=5\sqrt{6}$ значения $f(X)=\mathbf{n}\cdot (X-T)\text{:}$ $f(N)=-60,f(O)=-135,f(V)=+90\text{.}$ Знак при $V$ отличается, значит $\pi$ пересекает рёбра $VN$ и $VO$ внутри грани и отсекает треугольник при вершине $V\text{:}$

Так как $VN=VO=5\sqrt{10}\text{,}$ то $VA=3\sqrt{10},VB=2\sqrt{10}\text{.}$ Площадь:

Эквивалентно $S=\frac{VA\cdot VB}{VN\cdot VO}{S}_{NOV}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 5}\cdot 75=18\text{,}$ где площадь грани $S_{NOV}=75\text{.}$

ОДЗ/края: параметры $t=3/5$ и $2/5$ строго внутри $(0,1)$ — треугольник невырожден; $N,O$ лежат по одну сторону от $\pi \text{,}$ посторонних точек пересечения с гранью нет; $h=5\sqrt{6}$ — единственный положительный корень.

[!] Расхождение с официальным ключом: ключ указывает $9\sqrt{2}\text{.}$ Моя строгая выкладка даёт ровно 18. Заметим $9\sqrt{2}=18/\sqrt{2}$ — похоже на потерю/добавление множителя $\sqrt{2}$ (например проекция) в официальном решении. При данной постановке геометрически корректный результат — 18.