Задача №17943

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{65+{\log }_a^2\cos ax-{\log }_a{\cos }^{8}ax}+\sqrt{10+{\log }_a^2\sin ax+{\log }_a{\sin }^{2}ax}+\sqrt{125+{\log }_a^2\mathrm{tg}ax-{\log }_a{\mathrm{tg}}^{10}ax}$$

и все пары $(a,x)\text{,}$ при которых оно достигается.

Обозначим $u={\log }_a\cos ax\text{,}$ $v={\log }_a\sin ax\text{,}$ $w={\log }_a\mathrm{tg}ax\text{.}$ Так как $\mathrm{tg}ax=\frac{\sin ax}{\cos ax}\text{,}$ то $w=v-u\text{.}$ ОДЗ: $a>0,a\ne 1$ и $\cos ax>0,\sin ax>0,\mathrm{tg}ax>0$ (иначе логарифмы не определены).

Используя ${\log }_a{\cos }^{8}ax=8u\text{,}$ ${\log }_a{\sin }^{2}ax=2v\text{,}$ ${\log }_a{\mathrm{tg}}^{10}ax=10w\text{,}$ выделим полные квадраты под корнями:

$$65+u^2-8u=(u-4{)}^2+7^2,10+v^2+2v=(v+1{)}^2+3^2,125+w^2-10w=(w-5{)}^2+10^2.$$

Значит выражение равно

$$S=\sqrt{(4-u{)}^2+7^2}+\sqrt{(v+1{)}^2+3^2}+\sqrt{(5-w{)}^2+10^2},w=v-u.$$

Это сумма длин трёх векторов

$${\vec{p}}_1=(4-u,7),{\vec{p}}_2=(v+1,3),{\vec{p}}_3=(5-w,10)=(5-v+u,10).$$

По неравенству Минковского $|{\vec{p}}_1|+|{\vec{p}}_2|+|{\vec{p}}_3|\ge |{\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2+{\vec{p}}_3|\text{.}$ Горизонтальные компоненты телескопически сокращаются ($u$ и $v$ уходят):

$$(4-u)+(v+1)+(5-v+u)=10,$$

а вертикальные дают $7+3+10=20\text{.}$ Поэтому

$$S\ge \sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}.$$

Равенство в неравенстве Минковского достигается, когда все три вектора сонаправлены с суммарным $(10,20)\parallel (1,2)\text{,}$ то есть у каждого отношение горизонтали к вертикали равно $\frac{1}{2}\text{:}$

$$\frac{4-u}{7}=\frac{1}{2}\Rightarrow u=\frac{1}{2},\frac{v+1}{3}=\frac{1}{2}\Rightarrow v=\frac{1}{2},\frac{5-w}{10}=\frac{1}{2}\Rightarrow w=0.$$

Связь $w=v-u=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ выполнена автоматически, так что минимум $10\sqrt{5}$ действительно достижим. Точка $(u,v)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ — единственная критическая точка функции (проверено), значит набор $u=v=\frac{1}{2},w=0$ единствен.

Переходим к $(a,x)\text{:}$

$${\log }_a\cos ax=\frac{1}{2}\Rightarrow \cos ax=\sqrt{a},{\log }_a\sin ax=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin ax=\sqrt{a},{\log }_a\mathrm{tg}ax=0\Rightarrow \mathrm{tg}ax=1.$$

Из $\sin ax=\cos ax=\sqrt{a}>0$ и ${\sin }^{2}ax+{\cos }^{2}ax=1$ получаем $2a=1\text{,}$ то есть $a=\frac{1}{2}$ (условие $a>0,a\ne 1$ выполнено). Тогда $\cos ax=\sin ax=\frac{1}{\sqrt{2}}>0\text{,}$ $\mathrm{tg}ax=1\text{,}$ откуда $ax=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ (только первая четверть; в третьей четверти $ax=\frac{5\pi }{4}+2\pi k$ синус и косинус отрицательны и логарифмы не определены — ОДЗ отбрасывает её). При $a=\frac{1}{2}\text{:}$

$$x=\frac{ax}{a}=2\left(\frac{\pi }{4}+2\pi k\right)=\frac{\pi }{2}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: наименьшее значение равно $10\sqrt{5}\text{,}$ достигается при $a=\frac{1}{2},x=\frac{\pi }{2}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$