Задача №17938

Решите уравнение $2\cos 2x+3\sin 2x+4{\cos }^{2}x=-1\text{.}$

Перенесём $-1$ влево и представим $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\text{:}$

Подставим $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

ОДЗ: выражение определено при всех $x\in \mathbb{R}$ (нет деления и логарифмов). Проверим, не теряем ли корни при делении на ${\cos }^{2}x\text{:}$ если $\cos x=0\text{,}$ то ${\sin }^{2}x=1$ и левая часть равна $-1\ne 0\text{,}$ значит $\cos x\ne 0$ для любого решения, и деление на ${\cos }^{2}x$ законно. Получаем уравнение относительно $t=\mathrm{tg}x\text{:}$

Отсюда

то есть

Все преобразования равносильны (деление на ${\cos }^{2}x\ne 0$ обосновано выше), посторонних корней нет.