Задача №17941

Ровно в 13:00 из пункта А в пункт Б выехал мотоциклист. Проехав четверть пути, наблюдательный мотоциклист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда мотоциклист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автомобиль. Когда до пункта А оставалось пятая часть пути, не менее наблюдательный водитель автомобиля заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько приехал автомобиль в пункт А, если известно, что пешеход прибыл в пункт А ровно в 17:00? Скорости пешехода, мотоцикла и автомобиля считать постоянными.

Примем весь путь $AB$ за единицу, координату будем отсчитывать от $A$ (то есть $A$ имеет координату $0\text{,}$ а $B$ — координату $1$). Время будем мерить в часах, отсчитывая от $13:00$ (то есть $t=0$ соответствует $13:00\text{,}$ а прибытие пешехода в $17:00$ — моменту $t=4$). Скорости мотоциклиста, пешехода и автомобиля обозначим $V_m,V_p,V_c>0$ (все движения равномерные).

$\text{Мотоциклист.}$ Он стартует из $A$ в момент $t=0$ и движется к $B\text{:}$ его координата $x_m(t)=V_{m}t\text{.}$ Четверть пути он проезжает в момент

а в $B$ прибывает в момент

$\text{Пешеход.}$ Он идёт в сторону $A$ (координата убывает) и в момент $t_1$ находится в той же точке $x=\frac{1}{4}\text{,}$ что и мотоциклист (они поравнялись). Значит

Пешеход приходит в $A$ в $17:00\text{,}$ то есть $x_p(4)=0\text{:}$

$\text{Автомобиль.}$ Он выезжает из $B$ (точка $x=1$) в тот же момент $t_B\text{,}$ когда мотоциклист прибыл в $B\text{,}$ и едет к $A\text{:}$ $x_c(t)=1-V_c(t-t_B)\text{.}$ Когда до $A$ остаётся пятая часть пути, автомобиль находится в точке $x=\frac{1}{5}\text{;}$ пусть это момент $t_2\text{.}$ В этот момент он поравнялся с тем же пешеходом, поэтому и пешеход в точке $x=\frac{1}{5}\text{:}$

Условие на автомобиль:

$\text{Решение системы.}$ Из (1): $V_p=\frac{1/4}{4-t_1}\text{.}$ Подставляя $t_1=\frac{1}{4V_m}\text{,}$ удобнее выразить искомые скорости через $V_m\text{.}$ Решая (1) и (2) совместно относительно $V_p$ и $V_c\text{,}$ получаем

(При этом для положительности $V_c$ нужно $V_m>1\text{;}$ тогда автоматически $V_p>0\text{,}$ а проверка показывает, что все события упорядочены корректно: $t_1<t_2<4\text{,}$ $t_B<t_2\text{,}$ пешеход всё время находится между точками $x=\frac{1}{4}$ и $x=0\text{.}$)

$\text{Момент прибытия автомобиля в }A.$ Автомобиль приходит в $A$ ($x_c=0$) в момент

Подставляя найденное $V_c\text{:}$

поэтому

Замечательно, что результат $t_A=1$ не зависит от конкретных скоростей: индивидуальные значения $V_m,V_p,V_c$ остаются неопределёнными, но момент прибытия автомобиля определён однозначно.

Итак, автомобиль приходит в $A$ через $1$ час после $13:00\text{,}$ то есть в $\boxed{14:00}\text{.}$