58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T7c9,Решить $6\cos^2 x + 3\cos 2x = 5\sin 2x - 2$. **1. Понижение степени.** По формуле $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$ имеем $6\cos^2 x = 3 + 3\cos 2x$. Подставляя: \[ 3 + 3\cos 2x + 3\cos 2x = 5\sin 2x - 2 \ \Longrightarrow\ 3 + 6\cos 2x = 5\sin 2x - 2, \] \[ 6\cos 2x - 5\sin 2x + 5 = 0. \] **2. Универсальная подстановка.** Положим $t = \operatorname{tg} x$. Тогда $\cos 2x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin 2x = \dfrac{2t}{1+t^2}$. Подстановка корректна при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ (ОДЗ исходного уравнения — вся прямая, ограничение вводится только подстановкой). **Проверка потерянных корней.** При $\cos x = 0$: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = -1$, $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 0$. Тогда $6(-1) - 5\cdot 0 + 5 = -1 \neq 0$. Значит, точки $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ не являются решениями, при подстановке корни не теряются. **3. Уравнение относительно $t$.** Умножая на $1+t^2 > 0$: \[ 6(1-t^2) - 5\cdot 2t + 5(1+t^2) = 0 \ \Longrightarrow\ -t^2 - 10t + 11 = 0 \ \Longrightarrow\ t^2 + 10t - 11 = 0, \] \[ (t-1)(t+11) = 0 \ \Longrightarrow\ t = 1 \quad \text{или} \quad t = -11. \] **4. Возврат к $x$.** \[ \operatorname{tg} x = 1 \ \Longrightarrow\ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \qquad \operatorname{tg} x = -11 \ \Longrightarrow\ x = -\operatorname{arctg} 11 + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. \] Обе серии лежат вне исключённого множества $\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ (так как $\operatorname{tg} x$ конечен), посторонних корней нет. **Ответ:** $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$, $\ x = -\operatorname{arctg} 11 + \pi k$, $\ k \in \mathbb{Z}$.5c:Tb59,Здесь $\log_x^2 5$ означает $(\log_x 5)^2$. Введём подстановку $t=\log_5 x$; тогда $\log_x 5=\dfrac1t$ (при $x\neq 1$, то есть $t\neq 0$). Неравенство принимает вид \[\log_{1+t}\!\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\leqslant 1.\] **ОДЗ.** Нужно: $x>0$; основание $1+t>0$ и $1+t\neq 1$; аргумент $1+\tfrac1{t^2}>0$; сам $\log_x5$ определён. Отсюда \[t>-1,\qquad t\neq 0\quad(\text{то есть } x>\tfrac15,\ x\neq 1).\] Аргумент $1+\tfrac1{t^2}>0$ выполнен автоматически при $t\neq0$. Запишем правую часть как $1=\log_{1+t}(1+t)$ и перейдём к \[\log_{1+t}\frac{1+\tfrac1{t^2}}{1+t}\leqslant 0,\qquad\text{где }\ R(t):=\frac{1+\tfrac1{t^2}}{1+t}=\frac{t^2+1}{t^2(t+1)}>0.\] Знак выражения $R(t)-1$ удобно вычислить: \[R(t)-1=\frac{t^2+1-t^2(t+1)}{t^2(t+1)}=\frac{-(t-1)(t^2+t+1)}{t^2(t+1)}.\] Поскольку $t^2+t+1>0$ и $t^2>0$ при всех допустимых $t$, знак $R(t)-1$ совпадает со знаком $\dfrac{1-t}{t+1}$. **Случай A: основание больше 1**, то есть $1+t>1\Leftrightarrow t>0$. Логарифм возрастает, поэтому $\log_{1+t}R(t)\leqslant 0\Leftrightarrow 00$ имеем $t+1>0$, значит $\dfrac{1-t}{t+1}\leqslant 0\Leftrightarrow t\geqslant 1$. Получаем $t\geqslant 1$, то есть $x=5^t\geqslant 5$: \[x\in[5,+\infty).\] **Случай B: основание между 0 и 1**, то есть $0<1+t<1\Leftrightarrow -10$ и $1-t>0$, значит $\dfrac{1-t}{t+1}>0$ — выполнено для всех таких $t$. Получаем весь промежуток $-11$). Объединяя оба случая, получаем ответ $x\in\left(\tfrac15,1\right)\cup[5,+\infty)$.5d:Tc4e,\[\text{Дано: две окружности касаются внутренне в } S,\ R:r=16:11.\ \text{Хорда } AB \text{ внешней окружности касается внутренней в } T,\ \text{прямая } ST \text{ вторично пересекает внешнюю окружность в } C,\ CA=5,\ CB\parallel AS.\] **1. Гомотетия в точке $S$.** Внутреннее касание в $S$ означает: существует гомотетия $h$ с центром $S$ и коэффициентом $k=\dfrac{R}{r}=\dfrac{16}{11}$, переводящая внутреннюю окружность во внешнюю. Точка $T$ внутренней окружности переходит в точку $C=h(T)$ внешней, лежащую на луче $ST$; касательная к внутренней окружности в $T$ (это прямая $AB$) переходит в параллельную ей касательную к внешней окружности в $C$. Значит, касательная в $C$ параллельна $AB$, то есть $C$ — середина дуги $AB$. Отсюда \[CA=CB,\qquad SC=k\cdot ST,\quad TC=(k-1)\,ST.\] **2. Длины через $p=ST$.** Так как $C$ — середина дуги $AB$, степень точки $C$ даёт $CA^2=CT\cdot CS=(k-1)p\cdot kp=k(k-1)p^2$, поэтому \[SC=kp,\qquad CA=CB=p\sqrt{k(k-1)}.\] **3. Форма $SACB$.** Поскольку $C$ — середина дуги $AB$, прямая $SC$ — биссектриса угла $ASB$; вместе с $CA=CB$ и условием $CB\parallel AS$ получаем, что $SACB$ (порядок вершин $S\to A\to C\to B$) — равнобедренная трапеция: основания $AS\parallel CB$, боковые стороны $AC=BS$, причём $SB=CB=CA$. Из равнобедренного треугольника $SCB$ ($SB=CB$) с углом при основании $\alpha=\angle BSC=\angle ASC$: \[SC=2\,SB\cos\alpha\ \Rightarrow\ \cos\alpha=\frac{SC}{2\,CA}=\frac{\sqrt{k}}{2\sqrt{k-1}}.\] По теореме косинусов в треугольнике $ASC$ ($\angle ASC=\alpha$, $AC=CA$) получаем основание \[AS=\frac{CA}{k-1}=CA\cdot\frac{r}{R-r}.\] **4. Площадь.** Высота трапеции $h=\sqrt{CA^2-\left(\tfrac{AS-CB}{2}\right)^2}$, и \[S_{SACB}=\frac{AS+CB}{2}\,h=CA^2\cdot\frac{k^{3/2}}{4(k-1)}\sqrt{\frac{3k-4}{(k-1)^2}}.\] **5. Подстановка $k=\dfrac{16}{11},\ CA=5$.** Тогда $\dfrac{r}{R-r}=\dfrac{11}{5}$, значит $AS=5\cdot\dfrac{11}{5}=11$, $CB=CA=5$, боковые $AC=BS=5$. Полуразность оснований $\dfrac{11-5}{2}=3$, высота $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$. \[S_{SACB}=\frac{11+5}{2}\cdot 4=32.\] Также прямой подстановкой $\dfrac{k^{3/2}}{4(k-1)}\sqrt{\dfrac{3k-4}{(k-1)^2}}\Big|_{k=16/11}=\dfrac{32}{25}$, откуда $S=\dfrac{32}{25}\cdot 25=32.$ **Ответ:** 32.5e:Td39,Примем расстояние между А и Б за единицу. Положение точки на трассе будем измерять как долю пути от пункта А (А — это 0, Б — это 1). Время отсчитываем в минутах от 11:00. Пусть скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода равны $v_c,\ v_m,\ v_p$ (доли пути в минуту), все постоянны. **Опорные моменты времени.** - Велосипедист стартует из А в момент $t=0$. - Точку $2/5$ пути велосипедист проходит в момент $t_1=\dfrac{2/5}{v_c}$. В этот момент пешеход находится в точке с координатой $\dfrac{2}{5}$ и движется в сторону А. - В пункт Б велосипедист прибывает в момент $t_B=\dfrac{1}{v_c}$; в этот же миг из Б в А выезжает мотоциклист. - Мотоциклист движется от Б (координата 1) к А. Момент, когда до А остаётся $2/7$ пути (координата $2/7$, пройдено $1-\tfrac{2}{7}=\tfrac{5}{7}$), есть $t_2=t_B+\dfrac{5/7}{v_m}$. В этот момент он поравнялся с пешеходом, значит пешеход тоже в точке $\dfrac{2}{7}$. - Мотоциклист прибывает в А (координата 0) в 12:00, т.е. $t_A=t_B+\dfrac{1}{v_m}=60$. **Уравнения.** Из прибытия мотоциклиста: \[ \frac{1}{v_c}+\frac{1}{v_m}=60. \] Пешеход движется к А с постоянной скоростью $v_p$; его координата $x(t)=\dfrac{2}{5}-v_p\,(t-t_1)$. Условие прохождения точки $2/7$ в момент $t_2$: \[ \frac{2}{5}-v_p\,(t_2-t_1)=\frac{2}{7},\qquad t_2-t_1=\frac{5}{7v_m}+\frac{3}{5v_c}. \] Отсюда \[ v_p\left(\frac{5}{7v_m}+\frac{3}{5v_c}\right)=\frac{2}{5}-\frac{2}{7}=\frac{4}{35}. \] **Искомое время.** Пешеход придёт в А (координата 0) в момент \[ t_{\text{пеш}}=t_1+\frac{2/5}{v_p}=\frac{2}{5v_c}+\frac{2}{5v_p}. \] Выразим всё через один параметр. Из первого уравнения $\dfrac{1}{v_m}=60-\dfrac{1}{v_c}$, то есть $v_m=\dfrac{v_c}{60v_c-1}$. Подставив, получаем $v_p=\dfrac{v_c}{375v_c-1}$, откуда $\dfrac{1}{v_p}=\dfrac{375v_c-1}{v_c}=375-\dfrac{1}{v_c}$. Тогда \[ t_{\text{пеш}}=\frac{2}{5v_c}+\frac{2}{5}\left(375-\frac{1}{v_c}\right) =\frac{2}{5v_c}+150-\frac{2}{5v_c}=150. \] Зависимость от свободного параметра $v_c$ сокращается полностью: $t_{\text{пеш}}=150$ минут при любых допустимых скоростях (проверка: при выборе $v_c$ условия согласованности — порядок $00$ пока неизвестно (пирамида правильная). Точка $K$ на ребре $CD$ с $CK:KD=2:3$: $K=C+\tfrac25(D-C)=(-14;\,6\sqrt3;\,0)$. Пусть $\vec n=(p;q;r)$ -- нормаль плоскости $\pi$. 1) $\pi\parallel BC$. Направление $\vec{BC}=(-20;0;0)$, значит $\vec n\cdot\vec{BC}=0\Rightarrow p=0$. 2) $\pi\perp(EFS)$ означает, что нормаль $\pi$ лежит в плоскости $EFS$, т.е. $\vec n\perp\vec n_{EFS}$. Нормаль грани $EFS$: $\vec n_{EFS}=\vec{EF}\times\vec{ES}=(0;-20h;200\sqrt3)$. Из $\vec n\cdot\vec n_{EFS}=0$: $-20hq+200\sqrt3\,r=0\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt3\,h}{30}q$. Возьмём $q=30$: $\vec n=(0;\,30;\,\sqrt3\,h)$. 3) Условие на параллельность сечений. Линия пересечения $\pi$ с плоскостью $P$ имеет направление $\vec n\times\vec n_P$. Для граней: \[\vec n_{CDS}=\vec{CD}\times\vec{CS}=(-10\sqrt3\,h;\,10h;\,200\sqrt3),\quad \vec n_{ABS}=\vec{AB}\times\vec{AS}=(10\sqrt3\,h;\,10h;\,200\sqrt3).\] Параллельность $\vec n\times\vec n_{CDS}\parallel\vec n\times\vec n_{ABS}$ (их векторное произведение равно нулю) даёт уравнение, единственный положительный корень которого \[h^2=600,\qquad h=10\sqrt6.\] (Проверка: все боковые рёбра равны $10\sqrt{10}$ -- пирамида действительно правильная.) Тогда $\vec n=(0;30;30\sqrt2)$, а уравнение $\pi$ (проходит через $K$): \[30y+30\sqrt2\,z-180\sqrt3=0.\] Знаки $\vec n\cdot(\,\cdot-K)$ в вершинах грани $DES$: для $S$ положителен ($+420\sqrt3$), для $D$ и $E$ -- отрицательны. Значит $\pi$ отделяет вершину $S$ от стороны $DE$, пересекая два ребра -- $ES$ и $SD$: \[\text{на }ES:\ t=\tfrac{8}{15}\Rightarrow P_{ES}=\left(-\tfrac{14}{3};\,-\tfrac{14\sqrt3}{3};\,\tfrac{16\sqrt6}{3}\right),\qquad \text{на }SD:\ t=\tfrac{7}{10}\Rightarrow P_{SD}=(-14;\,0;\,3\sqrt6).\] (Ребро $DE$ даёт $t=-\tfrac35\notin[0;1]$, т.е. не пересекается -- отсекается именно треугольник у вершины $S$.) Площадь отсекаемого треугольника $S\,P_{ES}\,P_{SD}$: \[\Sigma=\frac12\bigl|\vec{SP_{ES}}\times\vec{SP_{SD}}\bigr|=98.\] Для контроля: площадь всей грани $DES$ равна $300$, оставшийся четырёхугольник имеет площадь $202$. Ответ: площадь отсекаемого треугольника равна $98$.60:Tdc4,Обозначим $\theta=\dfrac{x}{a}$ и положим $u=\log_a\cos\theta,\ v=\log_a\sin\theta,\ w=\log_a\operatorname{tg}\theta$. Выражение определено там, где $a>0,\ a\neq1$ и $\cos\theta>0,\ \sin\theta>0,\ \operatorname{tg}\theta>0$ (то есть $\theta$ в первой четверти). Используя $\log_a\cos^{12}\theta=12u$, $\log_a\sin^{4}\theta=4v$, $\log_a\operatorname{tg}^{6}\theta=6w$, а также тождество $\log_a\operatorname{tg}\theta=\log_a\sin\theta-\log_a\cos\theta$, получаем связь \[w=v-u.\] Выделим полные квадраты под корнями: \[157+u^2-12u=(u-6)^2+11^2,\quad 29+v^2+4v=(v+2)^2+5^2,\quad 47+w^2-6w=(w-3)^2+(\sqrt{38})^2.\] Тогда выражение равно \[S=\sqrt{(u-6)^2+11^2}+\sqrt{(v+2)^2+5^2}+\sqrt{(w-3)^2+38}.\] Интерпретируем слагаемые как длины векторов с вертикальными компонентами $11,\ 5,\ \sqrt{38}$ (одного знака) и горизонтальными компонентами, знаки которых выберем так: \[\vec V_1=(\,u-6,\ 11\,),\quad \vec V_2=(-(v+2),\ 5\,),\quad \vec V_3=(\,w-3,\ \sqrt{38}\,).\] Сумма горизонтальных компонент с учётом $w=v-u$ телескопически постоянна: \[(u-6)-(v+2)+(w-3)=(u-6)-(v+2)+(v-u-3)=-11,\] а сумма вертикальных равна $11+5+\sqrt{38}=16+\sqrt{38}$. По неравенству Минковского (длина суммы векторов не превосходит суммы длин) \[S=|\vec V_1|+|\vec V_2|+|\vec V_3|\ \ge\ \bigl|\vec V_1+\vec V_2+\vec V_3\bigr|=\sqrt{(-11)^2+(16+\sqrt{38})^2}=\sqrt{121+256+32\sqrt{38}+38}=\sqrt{415+32\sqrt{38}}.\] Равенство достигается, когда векторы сонаправлены, т.е. \[\frac{u-6}{11}=\frac{-(v+2)}{5}=\frac{w-3}{\sqrt{38}}=t,\qquad t=\frac{-11}{16+\sqrt{38}}.\] Отсюда $u=6+11t\approx0{,}5408,\ v=-2-5t\approx0{,}4815,\ w=v-u\approx-0{,}0593$ (при этом $w=v-u$ выполнено автоматически, так как направление третьего вектора совместимо с первыми двумя). Эта точка достижима в области определения: нужно подобрать базу $a$ и угол $\theta$ так, что $\cos\theta=a^{u},\ \sin\theta=a^{v}$, причём $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ даёт уравнение $a^{2u}+a^{2v}=1$. Так как $u,v>0$, функция $a\mapsto a^{2u}+a^{2v}$ на $(0,1)$ непрерывно возрастает от $0$ до $2$, значит существует единственное $a\in(0,1)$ (численно $a\approx0{,}507$), а тогда $\cos\theta\approx0{,}693>0,\ \sin\theta\approx0{,}721>0,\ \operatorname{tg}\theta\approx1{,}041>0$ — все логарифмы определены, $\theta\approx0{,}806$ (первая четверть), $x=a\theta\approx0{,}409$. Следовательно нижняя граница достигается и \[\boxed{S_{\min}=\sqrt{415+32\sqrt{38}}=\sqrt{121+(16+\sqrt{38})^2}\approx 24{,}744.}\] Замечание: радикал не упрощается (денестинг даёт $\sqrt{133313}$, не полный квадрат), поэтому это и есть каноничная форма ответа.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 3\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 3\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2016-v3\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T08:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 3\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2016 — вариант 3-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 3"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2016-v3","serverCollection":{"id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","name":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 3","code":"dvi-math-2016-v3","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_03.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2016 года, вариант 3","visible_problem_count":8,"year":2016},"created_at":"2026-06-10T08:50:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"832a3ae7-84f4-419c-9b5f-2695c1935b63","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"832a3ae7-84f4-419c-9b5f-2695c1935b63","short_id":17928,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Найдите \$f\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)\$, если \$f(x)=\\dfrac{x}{1-x}-\\dfrac{5}{7}\$.","answer_text":"\$11/14\$","answer":"\$11/14\$","solution_text":"Дана функция \$f(x)=\\dfrac{x}{1-x}-\\dfrac{5}{7}\$. Нужно найти \$f\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)\$.\n\nОДЗ: выражение \$\\dfrac{x}{1-x}\$ определено при \$1-x\\neq 0\$, то есть \$x\\neq 1\$. Точка \$x=\\dfrac{3}{5}\$ удовлетворяет этому условию, так как \$1-\\dfrac{3}{5}=\\dfrac{2}{5}\\neq 0\$, поэтому подстановка корректна.\n\nПодставляем \$x=\\dfrac{3}{5}\$:\n\\[f\\left(\\frac{3}{5}\\right)=\\frac{\\frac{3}{5}}{1-\\frac{3}{5}}-\\frac{5}{7}=\\frac{\\frac{3}{5}}{\\frac{2}{5}}-\\frac{5}{7}.\\]\n\nДелим дроби: \$\\dfrac{3/5}{2/5}=\\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{5}{2}=\\dfrac{3}{2}\$. Тогда\n\\[f\\left(\\frac{3}{5}\\right)=\\frac{3}{2}-\\frac{5}{7}=\\frac{21}{14}-\\frac{10}{14}=\\frac{11}{14}.\\]\n\nЗадача — прямое вычисление значения функции (не уравнение), посторонних корней и краевых случаев нет. Ответ: \$\\dfrac{11}{14}\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"dbca9466-bb43-440a-b89f-c54264134041","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"dbca9466-bb43-440a-b89f-c54264134041","short_id":17929,"task_number":94,"topic_id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \$x^2+ax+6=0\$ равна 1. Найдите все возможные значения \$a\$.","answer_text":"\$\\pm 5\$","answer":"\$\\pm 5\$","solution_text":"Уравнение \$x^2+ax+6=0\$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: \$D=a^2-4\\cdot 6=a^2-24>0\$.\n\nКорни \$x_{1,2}=\\dfrac{-a\\pm\\sqrt{a^2-24}}{2}\$. Разность между наибольшим и наименьшим корнями равна\n\\[x_{\\max}-x_{\\min}=\\sqrt{a^2-24}.\\]\n\nПо условию эта разность равна 1:\n\\[\\sqrt{a^2-24}=1\\ \\Longrightarrow\\ a^2-24=1\\ \\Longrightarrow\\ a^2=25\\ \\Longrightarrow\\ a=\\pm 5.\\]\n\nПроверка условия существования двух различных корней: при \$a=\\pm 5\$ имеем \$D=a^2-24=1>0\$, значит корни действительны и различны, оба значения допустимы (посторонних нет).\n\nКонтроль по теореме Виета: \$x_1 x_2=6\$, \$x_1+x_2=-a\$.\n- При \$a=-5\$: корни \$2\$ и \$3\$ (сумма \$5=-a\$, произведение \$6\$), разность \$3-2=1\$. [OK]\n- При \$a=5\$: корни \$-3\$ и \$-2\$ (сумма \$-5=-a\$, произведение \$6\$), разность \$-2-(-3)=1\$. [OK]\n\nОтвет: \$a=\\pm 5\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","name":"Алгебраические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"f3599593-fabc-4bc4-969a-0d78d7d18109","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f3599593-fabc-4bc4-969a-0d78d7d18109","short_id":17930,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$6\\cos^2 x+3\\cos 2x=5\\sin 2x-2\$.","answer_text":"\$x = \\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ -\\operatorname{arctg}11+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ -\\operatorname{arctg}11+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"75ef9492-f0a9-4464-a247-0ae40d879afd","code":"tag-111","name":"Однородные тригонометрические уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"64059d15-c8cc-434b-8219-36dfc8edfa75","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"64059d15-c8cc-434b-8219-36dfc8edfa75","short_id":17931,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство \$\\log_{1+\\log_5 x}(1+\\log_x^2 5)\\leqslant 1\$.","answer_text":"\$x \\in \\left(\\tfrac{1}{5},1\\right)\\cup[5,\\infty)\$","answer":"\$x \\in \\left(\\tfrac{1}{5},1\\right)\\cup[5,\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"2c223b3e-8f6a-44ea-8ec7-ac5fd06f2e3a","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"2c223b3e-8f6a-44ea-8ec7-ac5fd06f2e3a","short_id":17932,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Две окружности касаются внутренним образом в точке \$S\$. Хорда \$AB\$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке \$T\$. Прямая \$ST\$ пересекает внешнюю окружность в точках \$S\$ и \$C\$. Найдите площадь четырёхугольника \$SACB\$, если известно, что \$CA=5\$, \$CB\\parallel AS\$, а радиусы окружностей относятся как \$11:16\$.","answer_text":"\$32\$","answer":"\$32\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"63fd0b65-e80c-46c4-8b8e-21a6a2ac0cf5","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"63fd0b65-e80c-46c4-8b8e-21a6a2ac0cf5","short_id":17933,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Ровно в 11:00 из пункта А в пункт Б выехал велосипедист. Проехав две пятых пути, наблюдательный велосипедист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда велосипедист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал мотоциклист. Когда до пункта А оставалось две седьмых пути, не менее наблюдательный мотоциклист заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько придёт пешеход в пункт А, если известно, что мотоциклист прибыл в пункт А ровно в 12:00? Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста считать постоянными.","answer_text":"В 13:30","answer":"В 13:30","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}},{"problem_id":"dfa45c5e-10d5-46b1-802c-fd081c185cfa","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"dfa45c5e-10d5-46b1-802c-fd081c185cfa","short_id":17934,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В основании правильной пирамиды с вершиной \$S\$ лежит шестиугольник \$ABCDEF\$ со стороной 20. Плоскость \$\\pi\$ параллельна ребру \$BC\$, перпендикулярна плоскости \$EFS\$ и пересекает ребро \$CD\$ в точке \$K\$, так что \$CK:KD=2:3\$. Кроме того, прямые, по которым \$\\pi\$ пересекает плоскости \$CDS\$ и \$ABS\$, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \$\\pi\$ от грани \$DES\$.","answer_text":"\$49\\sqrt{2}\$","answer":"\$49\\sqrt{2}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"8999d63d-f4fc-41e6-aeec-9bb19b6e3182","code":"tag-126","name":"Правильная шестиугольная пирамида"},{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"b0e3aecc-e273-45ab-8c5b-a1e454b74ba1","code":"tag-166","name":"Параллельность плоскостей"}]}},{"problem_id":"0ef29248-7dfb-46fb-ae3f-6601dc259096","collection_id":"7e8140d4-e42a-4b2c-b40c-6169806fdad1","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"0ef29248-7dfb-46fb-ae3f-6601dc259096","short_id":17935,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":10,"content_text":"Найдите наименьшее значение выражения\n\\[\\sqrt{157+\\log_a^2\\cos\\frac{x}{a}-\\log_a\\cos^{12}\\frac{x}{a}}+\\sqrt{29+\\log_a^2\\sin\\frac{x}{a}+\\log_a\\sin^4\\frac{x}{a}}+\\sqrt{47+\\log_a^2\\operatorname{tg}\\frac{x}{a}-\\log_a\\operatorname{tg}^6\\frac{x}{a}}\\]\nи все пары \$(a,x)\$, при которых оно достигается.","answer_text":"\$11\\sqrt{5},\\ a=1/2,\\ x=\\frac{\\pi}{8}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$11\\sqrt{5},\\ a=1/2,\\ x=\\frac{\\pi}{8}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 3","variant_key":"2016-v3","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ