Задача №17929

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x^2+ax+6=0$ равна 1. Найдите все возможные значения $a\text{.}$

Уравнение $x^2+ax+6=0$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: $D=a^2-4\cdot 6=a^2-24>0\text{.}$

Корни $x_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-24}}{2}\text{.}$ Разность между наибольшим и наименьшим корнями равна

По условию эта разность равна 1:

Проверка условия существования двух различных корней: при $a=\pm 5$ имеем $D=a^2-24=1>0\text{,}$ значит корни действительны и различны, оба значения допустимы (посторонних нет).

Контроль по теореме Виета: $x_1{x}_2=6\text{,}$ $x_1+x_2=-a\text{.}$

• При $a=-5\text{:}$ корни $2$ и $3$ (сумма $5=-a\text{,}$ произведение $6$), разность $3-2=1\text{.}$ [OK]
• При $a=5\text{:}$ корни $-3$ и $-2$ (сумма $-5=-a\text{,}$ произведение $6$), разность $-2-(-3)=1\text{.}$ [OK]

Ответ: $a=\pm 5\text{.}$