Задача №17934

В основании правильной пирамиды с вершиной $S$ лежит шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 20. Плоскость $\pi$ параллельна ребру $BC\text{,}$ перпендикулярна плоскости $EFS$ и пересекает ребро $CD$ в точке $K\text{,}$ так что $CK:KD=2:3\text{.}$ Кроме того, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскости $CDS$ и $ABS\text{,}$ параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $\pi$ от грани $DES\text{.}$

Введём координаты. Поместим центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $20$ в начало, плоскость основания $z=0\text{;}$ радиус описанной окружности равен стороне, $R=20\text{.}$ Вершины подряд:

вершина пирамиды $S(0;0;h)\text{,}$ где $h>0$ пока неизвестно (пирамида правильная).

Точка $K$ на ребре $CD$ с $CK:KD=2:3\text{:}$ $K=C+\frac{2}{5}(D-C)=(-14;6\sqrt{3};0)\text{.}$

Пусть $\vec{n}=(p;q;r)$ — нормаль плоскости $\pi \text{.}$

1) $\pi \parallel BC\text{.}$ Направление $\overrightarrow{BC}=(-20;0;0)\text{,}$ значит $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\Rightarrow p=0\text{.}$

2) $\pi \perp (EFS)$ означает, что нормаль $\pi$ лежит в плоскости $EFS\text{,}$ т.е. $\vec{n}\perp {\vec{n}}_{EFS}\text{.}$ Нормаль грани $EFS\text{:}$ ${\vec{n}}_{EFS}=\overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{ES}=(0;-20h;200\sqrt{3})\text{.}$ Из $\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{EFS}=0\text{:}$ $-20hq+200\sqrt{3}r=0\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}h}{30}q\text{.}$ Возьмём $q=30\text{:}$ $\vec{n}=(0;30;\sqrt{3}h)\text{.}$

3) Условие на параллельность сечений. Линия пересечения $\pi$ с плоскостью $P$ имеет направление $\vec{n}\times {\vec{n}}_P\text{.}$ Для граней:

Параллельность $\vec{n}\times {\vec{n}}_{CDS}\parallel \vec{n}\times {\vec{n}}_{ABS}$ (их векторное произведение равно нулю) даёт уравнение, единственный положительный корень которого

(Проверка: все боковые рёбра равны $10\sqrt{10}$ — пирамида действительно правильная.)

Тогда $\vec{n}=(0;30;30\sqrt{2})\text{,}$ а уравнение $\pi$ (проходит через $K$):

Знаки $\vec{n}\cdot (\cdot -K)$ в вершинах грани $DES\text{:}$ для $S$ положителен ($+420\sqrt{3}$), для $D$ и $E$ — отрицательны. Значит $\pi$ отделяет вершину $S$ от стороны $DE\text{,}$ пересекая два ребра — $ES$ и $SD\text{:}$

(Ребро $DE$ даёт $t=-\frac{3}{5}\notin [0;1]\text{,}$ т.е. не пересекается — отсекается именно треугольник у вершины $S\text{.}$)

Площадь отсекаемого треугольника $S{P}_{ES}{P}_{SD}\text{:}$

Для контроля: площадь всей грани $DES$ равна $300\text{,}$ оставшийся четырёхугольник имеет площадь $202\text{.}$

Ответ: площадь отсекаемого треугольника равна $98\text{.}$