Задача №17931

Решите неравенство ${\log }_{1+{\log }_{5}x}(1+{\log }_x^{2}5)⩽1\text{.}$

Здесь ${\log }_x^{2}5$ означает $({\log }_{x}5{)}^2\text{.}$ Введём подстановку $t={\log }_{5}x\text{;}$ тогда ${\log }_{x}5=\frac{1}{t}$ (при $x\ne 1\text{,}$ то есть $t\ne 0$). Неравенство принимает вид

ОДЗ. Нужно: $x>0\text{;}$ основание $1+t>0$ и $1+t\ne 1\text{;}$ аргумент $1+\frac{1}{t^2}>0\text{;}$ сам ${\log }_{x}5$ определён. Отсюда

Аргумент $1+\frac{1}{t^2}>0$ выполнен автоматически при $t\ne 0\text{.}$

Запишем правую часть как $1={\log }_{1+t}(1+t)$ и перейдём к

Знак выражения $R(t)-1$ удобно вычислить:

Поскольку $t^2+t+1>0$ и $t^2>0$ при всех допустимых $t\text{,}$ знак $R(t)-1$ совпадает со знаком $\frac{1-t}{t+1}\text{.}$

Случай A: основание больше 1, то есть $1+t>1\iff t>0\text{.}$ Логарифм возрастает, поэтому ${\log }_{1+t}R(t)⩽0\iff 0<R(t)⩽1\iff R(t)-1⩽0\text{.}$ При $t>0$ имеем $t+1>0\text{,}$ значит $\frac{1-t}{t+1}⩽0\iff t⩾1\text{.}$ Получаем $t⩾1\text{,}$ то есть $x=5^t⩾5\text{:}$

Случай B: основание между 0 и 1, то есть $0<1+t<1\iff -1<t<0\text{.}$ Логарифм убывает, поэтому ${\log }_{1+t}R(t)⩽0\iff R(t)⩾1\iff R(t)-1⩾0\text{.}$ При $-1<t<0$ имеем $t+1>0$ и $1-t>0\text{,}$ значит $\frac{1-t}{t+1}>0$ — выполнено для всех таких $t\text{.}$ Получаем весь промежуток $-1<t<0\text{,}$ то есть $x=5^t\in (5^{-1},5^0)=(\frac{1}{5},1)\text{:}$

Проверка краёв. При $x=\frac{1}{5}\text{:}$ $t=-1\text{,}$ основание $1+t=0$ — не в ОДЗ, точка исключается (скобка открытая). При $x=1\text{:}$ $t=0$ — исключается. При $x=5\text{:}$ $t=1\text{,}$ основание $2\text{,}$ аргумент $1+1=2\text{,}$ и ${\log }_{2}2=1⩽1$ — выполнено, точка включается (скобка квадратная). На $(1,5)$ (то есть $0<t<1$) неравенство не выполнено (например, при $x=3$ левая часть $\approx 2.20>1$).

Объединяя оба случая, получаем ответ $x\in \left(\frac{1}{5},1\right)\cup [5,+\infty )\text{.}$