Задача №17935

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{157+{\log }_a^2\cos \frac{x}{a}-{\log }_a{\cos }^{12}\frac{x}{a}}+\sqrt{29+{\log }_a^2\sin \frac{x}{a}+{\log }_a{\sin }^4\frac{x}{a}}+\sqrt{47+{\log }_a^2\mathrm{tg}\frac{x}{a}-{\log }_a{\mathrm{tg}}^6\frac{x}{a}}$$

и все пары $(a,x)\text{,}$ при которых оно достигается.

Обозначим $\theta =\frac{x}{a}$ и положим $u={\log }_a\cos \theta ,v={\log }_a\sin \theta ,w={\log }_a\mathrm{tg}\theta \text{.}$ Выражение определено там, где $a>0,a\ne 1$ и $\cos \theta >0,\sin \theta >0,\mathrm{tg}\theta >0$ (то есть $\theta$ в первой четверти). Используя ${\log }_a{\cos }^{12}\theta =12u\text{,}$ ${\log }_a{\sin }^4\theta =4v\text{,}$ ${\log }_a{\mathrm{tg}}^6\theta =6w\text{,}$ а также тождество ${\log }_a\mathrm{tg}\theta ={\log }_a\sin \theta -{\log }_a\cos \theta \text{,}$ получаем связь

$$w=v-u.$$

Выделим полные квадраты под корнями:

$$157+u^2-12u=(u-6{)}^2+11^2,29+v^2+4v=(v+2{)}^2+5^2,47+w^2-6w=(w-3{)}^2+(\sqrt{38}{)}^2.$$

Тогда выражение равно

$$S=\sqrt{(u-6{)}^2+11^2}+\sqrt{(v+2{)}^2+5^2}+\sqrt{(w-3{)}^2+38}.$$

Интерпретируем слагаемые как длины векторов с вертикальными компонентами $11,5,\sqrt{38}$ (одного знака) и горизонтальными компонентами, знаки которых выберем так:

$${\vec{V}}_1=(u-6,11),{\vec{V}}_2=(-(v+2),5),{\vec{V}}_3=(w-3,\sqrt{38}).$$

Сумма горизонтальных компонент с учётом $w=v-u$ телескопически постоянна:

$$(u-6)-(v+2)+(w-3)=(u-6)-(v+2)+(v-u-3)=-11,$$

а сумма вертикальных равна $11+5+\sqrt{38}=16+\sqrt{38}\text{.}$ По неравенству Минковского (длина суммы векторов не превосходит суммы длин)

$$S=|{\vec{V}}_1|+|{\vec{V}}_2|+|{\vec{V}}_3|\ge |{\vec{V}}_1+{\vec{V}}_2+{\vec{V}}_3|=\sqrt{(-11{)}^2+(16+\sqrt{38}{)}^2}=\sqrt{121+256+32\sqrt{38}+38}=\sqrt{415+32\sqrt{38}}.$$

Равенство достигается, когда векторы сонаправлены, т.е.

$$\frac{u-6}{11}=\frac{-(v+2)}{5}=\frac{w-3}{\sqrt{38}}=t,t=\frac{-11}{16+\sqrt{38}}.$$

Отсюда $u=6+11t\approx 0,5408,v=-2-5t\approx 0,4815,w=v-u\approx -0,0593$ (при этом $w=v-u$ выполнено автоматически, так как направление третьего вектора совместимо с первыми двумя). Эта точка достижима в области определения: нужно подобрать базу $a$ и угол $\theta$ так, что $\cos \theta =a^u,\sin \theta =a^v\text{,}$ причём ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ даёт уравнение $a^{2u}+a^{2v}=1\text{.}$ Так как $u,v>0\text{,}$ функция $a\mapsto a^{2u}+a^{2v}$ на $(0,1)$ непрерывно возрастает от $0$ до $2\text{,}$ значит существует единственное $a\in (0,1)$ (численно $a\approx 0,507$), а тогда $\cos \theta \approx 0,693>0,\sin \theta \approx 0,721>0,\mathrm{tg}\theta \approx 1,041>0$ — все логарифмы определены, $\theta \approx 0,806$ (первая четверть), $x=a\theta \approx 0,409\text{.}$ Следовательно нижняя граница достигается и

$$\boxed{S_{\min }=\sqrt{415+32\sqrt{38}}=\sqrt{121+(16+\sqrt{38}{)}^2}\approx 24,744.}$$

Замечание: радикал не упрощается (денестинг даёт $\sqrt{133313}\text{,}$ не полный квадрат), поэтому это и есть каноничная форма ответа.