Задача №17933

Ровно в 11:00 из пункта А в пункт Б выехал велосипедист. Проехав две пятых пути, наблюдательный велосипедист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда велосипедист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал мотоциклист. Когда до пункта А оставалось две седьмых пути, не менее наблюдательный мотоциклист заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько придёт пешеход в пункт А, если известно, что мотоциклист прибыл в пункт А ровно в 12:00? Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста считать постоянными.

Примем расстояние между А и Б за единицу. Положение точки на трассе будем измерять как долю пути от пункта А (А — это 0, Б — это 1). Время отсчитываем в минутах от 11:00. Пусть скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода равны $v_c,v_m,v_p$ (доли пути в минуту), все постоянны.

Опорные моменты времени.

• Велосипедист стартует из А в момент $t=0\text{.}$
• Точку $2/5$ пути велосипедист проходит в момент $t_1=\frac{2/5}{v_c}\text{.}$ В этот момент пешеход находится в точке с координатой $\frac{2}{5}$ и движется в сторону А.
• В пункт Б велосипедист прибывает в момент $t_B=\frac{1}{v_c}\text{;}$ в этот же миг из Б в А выезжает мотоциклист.
• Мотоциклист движется от Б (координата 1) к А. Момент, когда до А остаётся $2/7$ пути (координата $2/7\text{,}$ пройдено $1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$), есть $t_2=t_B+\frac{5/7}{v_m}\text{.}$ В этот момент он поравнялся с пешеходом, значит пешеход тоже в точке $\frac{2}{7}\text{.}$
• Мотоциклист прибывает в А (координата 0) в 12:00, т.е. $t_A=t_B+\frac{1}{v_m}=60\text{.}$

Уравнения. Из прибытия мотоциклиста:

Пешеход движется к А с постоянной скоростью $v_p\text{;}$ его координата $x(t)=\frac{2}{5}-v_p(t-t_1)\text{.}$ Условие прохождения точки $2/7$ в момент $t_2\text{:}$

Отсюда

Искомое время. Пешеход придёт в А (координата 0) в момент

Выразим всё через один параметр. Из первого уравнения $\frac{1}{v_m}=60-\frac{1}{v_c}\text{,}$ то есть $v_m=\frac{v_c}{60v_c-1}\text{.}$ Подставив, получаем $v_p=\frac{v_c}{375v_c-1}\text{,}$ откуда $\frac{1}{v_p}=\frac{375v_c-1}{v_c}=375-\frac{1}{v_c}\text{.}$ Тогда

Зависимость от свободного параметра $v_c$ сокращается полностью: $t_{\text{пеш}}=150$ минут при любых допустимых скоростях (проверка: при выборе $v_c$ условия согласованности — порядок $0<t_1<t_2\le t_A\text{,}$ положительность всех скоростей и движение пешехода к А — выполняются). Значит пешеход приходит в А через 150 минут после 11:00, т.е. в 13:30.