Задача №17932

Две окружности касаются внутренним образом в точке $S\text{.}$ Хорда $AB$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $T\text{.}$ Прямая $ST$ пересекает внешнюю окружность в точках $S$ и $C\text{.}$ Найдите площадь четырёхугольника $SACB\text{,}$ если известно, что $CA=5\text{,}$ $CB\parallel AS\text{,}$ а радиусы окружностей относятся как $11:16\text{.}$

1. Гомотетия в точке $S\text{.}$ Внутреннее касание в $S$ означает: существует гомотетия $h$ с центром $S$ и коэффициентом $k=\frac{R}{r}=\frac{16}{11}\text{,}$ переводящая внутреннюю окружность во внешнюю. Точка $T$ внутренней окружности переходит в точку $C=h(T)$ внешней, лежащую на луче $ST\text{;}$ касательная к внутренней окружности в $T$ (это прямая $AB$) переходит в параллельную ей касательную к внешней окружности в $C\text{.}$ Значит, касательная в $C$ параллельна $AB\text{,}$ то есть $C$ — середина дуги $AB\text{.}$ Отсюда

2. Длины через $p=ST\text{.}$ Так как $C$ — середина дуги $AB\text{,}$ степень точки $C$ даёт $C{A}^2=CT\cdot CS=(k-1)p\cdot kp=k(k-1)p^2\text{,}$ поэтому

3. Форма $SACB\text{.}$ Поскольку $C$ — середина дуги $AB\text{,}$ прямая $SC$ — биссектриса угла $ASB\text{;}$ вместе с $CA=CB$ и условием $CB\parallel AS$ получаем, что $SACB$ (порядок вершин $S\to A\to C\to B$) — равнобедренная трапеция: основания $AS\parallel CB\text{,}$ боковые стороны $AC=BS\text{,}$ причём $SB=CB=CA\text{.}$ Из равнобедренного треугольника $SCB$ ($SB=CB$) с углом при основании $\alpha =\angle BSC=\angle ASC\text{:}$

По теореме косинусов в треугольнике $ASC$ ($\angle ASC=\alpha \text{,}$ $AC=CA$) получаем основание

4. Площадь. Высота трапеции $h=\sqrt{C{A}^2-{\left(\frac{AS-CB}{2}\right)}^2}\text{,}$ и

5. Подстановка $k=\frac{16}{11},CA=5\text{.}$ Тогда $\frac{r}{R-r}=\frac{11}{5}\text{,}$ значит $AS=5\cdot \frac{11}{5}=11\text{,}$ $CB=CA=5\text{,}$ боковые $AC=BS=5\text{.}$ Полуразность оснований $\frac{11-5}{2}=3\text{,}$ высота $h=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{.}$

Также прямой подстановкой $\frac{k^{3/2}}{4(k-1)}\sqrt{\frac{3k-4}{(k-1{)}^2}}{|}_{k=16/11}=\frac{32}{25}\text{,}$ откуда $S=\frac{32}{25}\cdot 25=32.$

Ответ: 32.