Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ
Решите уравнение 6cos2x+3cos2x=5sin2x−2.
Решить 6cos2x+3cos2x=5sin2x−2.
1. Понижение степени. По формуле cos2x=21+cos2x имеем 6cos2x=3+3cos2x. Подставляя:
3+3cos2x+3cos2x=5sin2x−2 ⟹ 3+6cos2x=5sin2x−2, 6cos2x−5sin2x+5=0.2. Универсальная подстановка. Положим t=tgx. Тогда cos2x=1+t21−t2, sin2x=1+t22t. Подстановка корректна при cosx=0, то есть x=2π+πn (ОДЗ исходного уравнения — вся прямая, ограничение вводится только подстановкой).
Проверка потерянных корней. При cosx=0: cos2x=2cos2x−1=−1, sin2x=2sinxcosx=0. Тогда 6(−1)−5⋅0+5=−1=0. Значит, точки x=2π+πn не являются решениями, при подстановке корни не теряются.
3. Уравнение относительно t. Умножая на 1+t2>0:
6(1−t2)−5⋅2t+5(1+t2)=0 ⟹ −t2−10t+11=0 ⟹ t2+10t−11=0, (t−1)(t+11)=0 ⟹ t=1илиt=−11.4. Возврат к x.
tgx=1 ⟹ x=4π+πk,tgx=−11 ⟹ x=−arctg11+πk,k∈Z.Обе серии лежат вне исключённого множества 2π+πn (так как tgx конечен), посторонних корней нет.
Ответ: x=4π+πk, x=−arctg11+πk, k∈Z.