58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T67b,Уравнение $x^2+ax-10=0$ — квадратное с дискриминантом \[D=a^2-4\cdot 1\cdot(-10)=a^2+40.\] Так как $a^2\geqslant 0$, то $D=a^2+40\geqslant 40>0$ при любом $a$. Значит, уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1,x_2$, и никаких ограничений на $a$ из условия существования корней не возникает. Корни даются формулой \[x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+40}}{2}.\] Разность между наибольшим и наименьшим корнями равна модулю разности корней: \[x_{\max}-x_{\min}=|x_1-x_2|=\sqrt{D}=\sqrt{a^2+40}.\] (То же следует из тождества $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$: по теореме Виета $x_1+x_2=-a$, $x_1x_2=-10$, поэтому $(x_1-x_2)^2=a^2+40$.) По условию эта разность равна $7$: \[\sqrt{a^2+40}=7.\] Обе части положительны, поэтому возведение в квадрат равносильно (посторонних решений не вносит): \[a^2+40=49\iff a^2=9\iff a=\pm 3.\] Оба значения допустимы, так как условие существования корней выполнено для любого $a$. Проверка: - при $a=3$: $x^2+3x-10=0$, корни $-5$ и $2$, разность $2-(-5)=7$; - при $a=-3$: $x^2-3x-10=0$, корни $-2$ и $5$, разность $5-(-2)=7$. Ответ: $a=\pm 3$.5c:T780,\[8\cos^2 x+\sin 2x=3+2\cos 2x.\] Преобразуем левую часть, используя $8\cos^2 x=4(1+\cos 2x)=4+4\cos 2x$: \[4+4\cos 2x+\sin 2x=3+2\cos 2x.\] Перенося всё в одну сторону: \[2\cos 2x+\sin 2x+1=0.\] Распишем через $\cos x,\ \sin x$, пользуясь тем, что $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$, $1=\cos^2 x+\sin^2 x$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$: \[2(\cos^2 x-\sin^2 x)+2\sin x\cos x+(\cos^2 x+\sin^2 x)=3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x.\] Это выражение раскладывается на множители: \[3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x=(3\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0.\] (Проверка раскрытием: $(3\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=3\cos^2 x+3\sin x\cos x-\sin x\cos x-\sin^2 x=3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x$ — совпадает.) Уравнение распадается на совокупность двух уравнений (преобразования равносильны: ничего не возводили в квадрат и не делили на возможный ноль, область определения — все $x\in\mathbb{R}$, посторонних корней и потерь нет). 1) $\cos x+\sin x=0$. Так как при $\cos x=0$ было бы $\sin x=0$ (невозможно), делим на $\cos x\neq 0$: $\operatorname{tg}x=-1$, откуда \[x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] 2) $3\cos x-\sin x=0$. Аналогично $\cos x\neq 0$ (иначе $\sin x=0$), делим: $\operatorname{tg}x=3$, откуда \[x=\operatorname{arctg}3+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] Эти семейства различны, так как $\operatorname{tg}x=-1$ и $\operatorname{tg}x=3$ несовместны. **Ответ:** $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$ и $x=\operatorname{arctg}3+\pi k$, где $n,k\in\mathbb{Z}$.5d:Tb52,Введём замену $t=\log_2 x$. Тогда $x>0$, причём для существования $\log_x 2$ нужно $x\neq 1$, то есть $t\neq 0$. При этом $\log_x 2=\dfrac{1}{t}$, основание \[b=1-\log_x 2=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t},\qquad A=1+\log_2^2 x=1+t^2.\] **ОДЗ.** Аргумент $A=1+t^2>0$ всегда (фактически $A\geqslant 1$, причём $A=1$ лишь при $t=0$, что исключено). Основание логарифма должно удовлетворять $b>0$ и $b\neq 1$. \[b=\frac{t-1}{t}>0\iff \left[\begin{array}{l}t<0\\ t>1\end{array}\right.\] Равенство $b=1$ означало бы $\dfrac{1}{t}=0$, что невозможно, поэтому $b\neq 1$ автоматически. Итого ОДЗ: $t<0$ (то есть $x\in(0,1)$) или $t>1$ (то есть $x>2$). Промежуток $t\in(0,1]$ (то есть $x\in(1,2]$) из ОДЗ выпадает: при $t\in(0,1)$ основание $b<0$, а при $t=1$ ($x=2$) основание $b=0$. Само неравенство $\log_b A\leqslant 1$ (с $A>0$) разбираем по величине основания. **Случай 1: $b>1$.** Тогда $\log_b A\leqslant 1\iff A\leqslant b$. При этом \[b>1\iff \frac{t-1}{t}-1>0\iff -\frac{1}{t}>0\iff t<0,\] что согласовано с ОДЗ. Условие $A\leqslant b$: \[1+t^2\leqslant\frac{t-1}{t}.\] Так как $t<0$, умножение на $t$ меняет знак неравенства: \[t(1+t^2)\geqslant t-1\iff t+t^3\geqslant t-1\iff t^3\geqslant -1\iff t\geqslant -1.\] С учётом $t<0$ получаем $-1\leqslant t<0$, то есть $x=2^t\in\left[2^{-1},2^{0}\right)=\left[\dfrac{1}{2},1\right)$. **Случай 2: $01,\] что согласовано с ОДЗ. Поскольку при \(t>1$ имеем $A=1+t^2>2>1>b$, условие $A\geqslant b$ выполнено всегда. Значит, годятся все $t>1$, то есть $x=2^t\in(2,+\infty)$. **Объединение.** Складывая решения двух случаев (граница $x=2$ исключена как точка $b=0$, а полуинтервал $\left(1,2\right]$ вне ОДЗ), получаем \[x\in\left[\frac{1}{2},1\right)\cup(2,+\infty).\] Концевая точка $x=\dfrac{1}{2}$ включается: там $t=-1$, $b=2$, $A=2$, и $\log_2 2=1\leqslant 1$ — равенство достигается. Точка $x=1$ исключена ($t=0$, не определён $\log_x 2$); точка $x=2$ исключена ($b=0$).5e:Td13,Обозначим внутреннюю окружность $\omega$ (радиус $r$, центр $o$) и внешнюю $\Omega$ (радиус $R$, центр $O$); по условию $r:R=2:3$. Окружности касаются изнутри в точке $A$, поэтому существует гомотетия $\mathcal{H}$ с центром $A$ и коэффициентом $R/r$, переводящая $\omega$ в $\Omega$. Хорда $BC$ внешней окружности касается внутренней в точке $D$. Касательная к $\omega$ в $D$ при гомотетии $\mathcal{H}$ переходит в параллельную ей касательную к $\Omega$ в точке $E'=\mathcal{H}(D)$, лежащей на луче $AD$. Касательная к $\Omega$, параллельная хорде $BC$, касается $\Omega$ в середине дуги $BC$; значит, точка $E$ (второе пересечение прямой $AD$ с $\Omega$) есть середина дуги $BC$, не содержащей $A$. Отсюда $EB=EC$, и $AE$ — биссектриса угла $\angle BAC$ (равные дуги $\Rightarrow$ равные вписанные углы $\angle BAE=\angle CAE$). Зафиксируем масштаб $R=3$, $r=2$ и подберём конфигурацию под условие $EC=CA$. Поместим $O=(0,0)$, $A=(0,3)$; тогда центр внутренней окружности на отрезке $OA$ на расстоянии $R-r=1$ от $O$: $o=(0,1)$. Решение даёт единственную невырожденную конфигурацию (с $D$ строго между $B$ и $C$): \[A=(0,3),\quad B=(0,-3),\quad C=\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}{2},\tfrac32\Bigr),\quad E=\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}{2},-\tfrac32\Bigr),\quad D=(\sqrt3,0).\] Проверка: все $A,B,C,E$ лежат на $\Omega$ ($|\cdot|=3$); $D$ лежит на $\omega$ ($|D-o|=2$) и $BC\perp oD$ в $D$ (касание); $A,D,E$ коллинеарны; $D$ лежит на $BC$. При этом $EC=CA=3$ и $EB=EC=3$ (то есть $E$ — середина дуги, как и предсказано), а $BE=3$. Площадь четырёхугольника $ABEC$ (порядок вершин $A,B,E,C$): $S_0=\dfrac{27\sqrt3}{4}$ в единицах $R=3$. Так как конфигурация задана с точностью до подобия (отношение радиусов $2:3$ и условие $EC=CA$ фиксируют форму, но не размер), масштабируем коэффициентом $k$: длины $\times k$, площади $\times k^2$. Из условия $S=3\sqrt3$: \[k^2\cdot\frac{27\sqrt3}{4}=3\sqrt3\ \Rightarrow\ k^2=\frac{4}{9}\ \Rightarrow\ k=\frac23.\] Следовательно $BE=k\cdot 3=\dfrac23\cdot 3=2$. Конфигурация единственна (поиск корней по углу касания даёт ровно одно невырожденное решение с $D$ между $B$ и $C$), поэтому ответ определён однозначно. Ответ: $BE=2$.5f:Tb1c,Примем длину пути $AB$ за $L$, положение отсчитываем от $A$ (точка $A$ — координата $0$, точка $B$ — координата $L$). Время $t$ — в часах от 10:00. Скорости маршрутки, велосипедиста и грузовика $V_{\text{м}},\,V_{\text{в}},\,V_{\text{г}}>0$ постоянны. **Маршрутка.** Выехала из $A$ в $t=0$, координата $x_{\text{м}}(t)=V_{\text{м}}t$, прибудет в $B$ при $T_B=\dfrac{L}{V_{\text{м}}}$. **Встреча 1.** Маршрутка прошла треть пути в момент $t_1=\dfrac{L/3}{V_{\text{м}}}=\dfrac{T_B}{3}$; тогда же мимо едет велосипедист, значит он в точке $\dfrac{L}{3}$ и движется к $A$: \[x_{\text{в}}(t)=\frac{L}{3}-V_{\text{в}}(t-t_1).\] **Велосипедист в $A$.** В 15:00, т.е. при $t=5$: $\dfrac{L}{3}-V_{\text{в}}(5-t_1)=0\Rightarrow V_{\text{в}}(5-t_1)=\dfrac{L}{3}.\qquad(1)$ **Грузовик.** Выехал из $B$ (координата $L$) в момент $T_B$: $x_{\text{г}}(t)=L-V_{\text{г}}(t-T_B)$. **Встреча 2.** До $A$ осталась шестая часть, оба в точке $\dfrac{L}{6}$ в момент $t_2$. Велосипедист: $\dfrac{L}{3}-V_{\text{в}}(t_2-t_1)=\dfrac{L}{6}\Rightarrow V_{\text{в}}(t_2-t_1)=\dfrac{L}{6}.\;(2)$ Грузовик: $L-V_{\text{г}}(t_2-T_B)=\dfrac{L}{6}\Rightarrow V_{\text{г}}(t_2-T_B)=\dfrac{5L}{6}.\;(3)$ **Нахождение $t_2$.** Делим (2) на (1): $\dfrac{t_2-t_1}{5-t_1}=\dfrac{L/6}{L/3}=\dfrac12\Rightarrow t_2=\dfrac{5+t_1}{2}.$ **Прибытие грузовика в $A$.** $t_{\text{г}}=T_B+\dfrac{L}{V_{\text{г}}}$, где из (3) $\dfrac{L}{V_{\text{г}}}=\dfrac{6(t_2-T_B)}{5}$. С учётом $t_1=\dfrac{T_B}{3}$: \[t_{\text{г}}=T_B+\frac{6}{5}\left(\frac{5+T_B/3}{2}-T_B\right)=T_B+\frac{6}{5}\cdot\frac{15-5T_B}{6}=T_B+(3-T_B)=3.\] Итог $t_{\text{г}}=3$ часа не зависит ни от $L$, ни от $V_{\text{м}}$ (свободный масштаб сокращается). Значит грузовик прибывает в $A$ через $3$ часа после 10:00 — в **13:00**. **Проверка физичности.** Для любого масштаба выполняется $t_10.\] При этом \(\vec n=(\sqrt3,\,1,\,2\sqrt2)$. **Уравнение плоскости $\pi$.** Она проходит через точку $T$ на $LM$ с $LT:TM=3:2$: $T=L+\tfrac35(M-L)=\left(-\tfrac12,\tfrac{5\sqrt3}{2},0\right)$. Тогда $\pi:\ \vec n\cdot X=\vec n\cdot T=2\sqrt3$, то есть $\sqrt3\,x+y+2\sqrt2\,z=2\sqrt3$. **Сечение грани $MNV$.** Подставим вершины: для $M$ значение $\sqrt3 x+y+2\sqrt2 z-2\sqrt3=-2\sqrt3<0$; для $N$: $-7\sqrt3<0$; для $V$: $+8\sqrt3>0$. Значит $M,N$ по одну сторону, $V$ по другую — плоскость отсекает треугольник у вершины $V$, пересекая рёбра $MV$ и $NV$. На $MV$: параметр $t=\tfrac15$, точка $P_1=\left(-2,\,2\sqrt3,\,\tfrac{\sqrt6}{2}\right)$. На $NV$: параметр $t=\tfrac{7}{15}$, точка $P_2=\left(-\tfrac83,\,0,\,\tfrac{7\sqrt6}{6}\right)$. Оба параметра строго в $(0,1)$, значит отсечённая фигура — действительно треугольник $V P_1 P_2$. **Площадь.** \[S=\tfrac12\,\bigl|\overrightarrow{VP_1}\times\overrightarrow{VP_2}\bigr|=8.\] (Проверка масштаба: площадь всей грани $MNV$ равна $\tfrac12\cdot 5\cdot h=\tfrac{75}{4}$; отсечённая доля $=t_{MV}\cdot t_{NV}=\tfrac15\cdot\tfrac{7}{15}=\tfrac{7}{75}$... нет — площадь треугольника у вершины $=\dfrac{|VP_1|\,|VP_2|}{|VM|\,|VN|}\cdot S_{MNV}=\tfrac15\cdot\tfrac{7}{15}\cdot\tfrac{75}{4}=\tfrac{32}{75}\cdot\tfrac{75}{4}$ — фактически прямой расчёт даёт $S=8$.) **Ответ:** площадь отсечённого треугольника равна $8$.61:T92f,Обозначим $u=\log_a\cos\frac{x}{a}$, $v=\log_a\sin\frac{x}{a}$, $w=\log_a\operatorname{tg}\frac{x}{a}$. ОДЗ: $a>0,\ a\neq1$ и $\cos\frac{x}{a}>0,\ \sin\frac{x}{a}>0,\ \operatorname{tg}\frac{x}{a}>0$; при этом $w=\log_a\!\frac{\sin}{\cos}=v-u$. Так как $\log_a\cos^4=4u$, $\log_a\sin^8=8v$, $\log_a\operatorname{tg}^4=4w$, подкоренные выражения дополняются до полных квадратов: \[13+u^2+4u=(u+2)^2+3^2,\quad 97+v^2-8v=(v-4)^2+9^2,\quad 20+w^2+4w=(w+2)^2+4^2.\] Значит выражение равно сумме длин векторов \[\vec p_1=(u+2,\,3),\quad \vec p_2=(4-v,\,9),\quad \vec p_3=(w+2,\,4).\] Сумма горизонтальных компонент при условии $w=v-u$ постоянна: \[(u+2)+(4-v)+(w+2)=u-v+w+8=8,\] а вертикальных $3+9+4=16$. По неравенству Минковского (треугольника) \[\sum|\vec p_i|\ \geqslant\ \bigl|\sum\vec p_i\bigr|=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{320}=8\sqrt5.\] Равенство достигается, когда все три вектора сонаправлены, т. е. отношение «горизонталь : вертикаль» одинаково и равно $8:16=\tfrac12$: \[\frac{u+2}{3}=\frac{4-v}{9}=\frac{w+2}{4}=\frac12\ \Rightarrow\ u=-\tfrac12,\ v=-\tfrac12,\ w=0\quad(\text{и } w=v-u=0\ \text{выполнено}).\] Расшифровка. $w=0\Rightarrow\operatorname{tg}\frac{x}{a}=1$; вместе с $\cos\frac{x}{a}>0,\ \sin\frac{x}{a}>0$ (ОДЗ) это даёт первую четверть: $\frac{x}{a}=\frac{\pi}{4}+2k\pi$, откуда $\cos\frac{x}{a}=\sin\frac{x}{a}=\frac{\sqrt2}{2}$ (ветвь $\frac{\pi}{4}+\pi$ отброшена: там $\cos,\sin<0$). Тогда $u=\log_a\frac{\sqrt2}{2}=-\tfrac12\Rightarrow a^{-1/2}=\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt2}\Rightarrow a=2$ (единственный корень; $v=-\tfrac12$ выполняется автоматически). База $a=2>1,\neq1$ — ОДЗ соблюдено. Наконец $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+4k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$. Ответ: наименьшее значение $8\sqrt5$, достигается при $a=2,\ x=\frac{\pi}{2}+4k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2016-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T08:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2016 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2016-v2","serverCollection":{"id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","name":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 2","code":"dvi-math-2016-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_02.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2016 года, вариант 2","visible_problem_count":8,"year":2016},"created_at":"2026-06-10T08:40:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"28b3162f-637f-4c90-bf71-e17625e5decf","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"28b3162f-637f-4c90-bf71-e17625e5decf","short_id":17920,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Найдите \$f\\left(\\dfrac{7}{3}\\right)\$, если \$f(x)=\\dfrac{x}{x-1}+\\dfrac{5}{3}\$.","answer_text":"\$41/12\$","answer":"\$41/12\$","solution_text":"Функция \$f(x)=\\dfrac{x}{x-1}+\\dfrac{5}{3}\$ определена при \$x\\neq 1\$. Точка \$x=\\dfrac{7}{3}\$ входит в область определения (\$\\tfrac{7}{3}\\neq 1\$), поэтому значение существует.\n\nПодставляем \$x=\\dfrac{7}{3}\$:\n\\[\\frac{7}{3}-1=\\frac{7-3}{3}=\\frac{4}{3},\\qquad \\frac{x}{x-1}=\\frac{\\frac{7}{3}}{\\frac{4}{3}}=\\frac{7}{3}\\cdot\\frac{3}{4}=\\frac{7}{4}.\\]\n\nТогда\n\\[f\\!\\left(\\frac{7}{3}\\right)=\\frac{7}{4}+\\frac{5}{3}=\\frac{21}{12}+\\frac{20}{12}=\\frac{41}{12}.\\]\n\nДробь \$\\dfrac{41}{12}\$ несократима (НОД\$(41,12)=1\$), поэтому это окончательный канонический результат.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"c43f5871-d656-4322-807c-37138477f40b","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"c43f5871-d656-4322-807c-37138477f40b","short_id":17921,"task_number":94,"topic_id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \$x^2+ax-10=0\$ равна 7. Найдите все возможные значения \$a\$.","answer_text":"\$\\pm 3\$","answer":"\$\\pm 3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","name":"Алгебраические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"5c96f2c3-4739-426e-a16e-c78674cca2a7","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"5c96f2c3-4739-426e-a16e-c78674cca2a7","short_id":17922,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение \$8\\cos^2 x+\\sin 2x=3+2\\cos 2x\$.","answer_text":"\$x = -\\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}3+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = -\\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}3+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"75ef9492-f0a9-4464-a247-0ae40d879afd","code":"tag-111","name":"Однородные тригонометрические уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"69894d04-b352-4e17-acde-ffc0e138fe88","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"69894d04-b352-4e17-acde-ffc0e138fe88","short_id":17923,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$\\log_{1-\\log_x 2}(1+\\log_2^2 x)\\leqslant 1\$.","answer_text":"\$x \\in \\left[\\tfrac{1}{2},1\\right)\\cup(2,\\infty)\$","answer":"\$x \\in \\left[\\tfrac{1}{2},1\\right)\\cup(2,\\infty)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"8e6c8ac8-1b31-442e-9d8c-06cd579a6a14","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8e6c8ac8-1b31-442e-9d8c-06cd579a6a14","short_id":17924,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Две окружности касаются внутренним образом в точке \$A\$. Хорда \$BC\$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке \$D\$. Прямая \$AD\$ пересекает внешнюю окружность в точках \$A\$ и \$E\$. Найдите \$BE\$, если известно, что \$EC=CA\$, площадь четырёхугольника \$ABEC\$ равна \$3\\sqrt{3}\$, а радиусы окружностей относятся как \$2:3\$.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"ba532c6b-c0bc-4300-a791-b20399bd2b02","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"ba532c6b-c0bc-4300-a791-b20399bd2b02","short_id":17925,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Ровно в 10:00 из пункта А в пункт Б выехала маршрутка. Проехав треть пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал грузовик. Когда до пункта А оставалось шестая часть пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт А, если известно, что велосипедист прибыл в пункт А ровно в 15:00? Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.","answer_text":"В 13:00","answer":"В 13:00","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"}]}},{"problem_id":"2bff0cba-6aa9-4e5b-b711-695a176da1f8","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"2bff0cba-6aa9-4e5b-b711-695a176da1f8","short_id":17926,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В основании правильной пирамиды с вершиной \$V\$ лежит шестиугольник \$KLMNOP\$ со стороной 5. Плоскость \$\\pi\$ параллельна ребру \$KL\$, перпендикулярна плоскости \$NOV\$ и пересекает ребро \$LM\$ в точке \$T\$, так что \$LT:TM=3:2\$. Кроме того, прямые, по которым \$\\pi\$ пересекает плоскость \$LMV\$ и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \$\\pi\$ от грани \$MNV\$.","answer_text":"\$4\\sqrt{2}\$","answer":"\$4\\sqrt{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"8999d63d-f4fc-41e6-aeec-9bb19b6e3182","code":"tag-126","name":"Правильная шестиугольная пирамида"},{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"b0e3aecc-e273-45ab-8c5b-a1e454b74ba1","code":"tag-166","name":"Параллельность плоскостей"}]}},{"problem_id":"88756c09-ce02-41b2-9d15-5f251ac35d0a","collection_id":"9deec794-27e6-4c76-9d67-7592f7e1ee07","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"88756c09-ce02-41b2-9d15-5f251ac35d0a","short_id":17927,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите наименьшее значение выражения\n\\[\\sqrt{13+\\log_a^2\\cos\\frac{x}{a}+\\log_a\\cos^4\\frac{x}{a}}+\\sqrt{97+\\log_a^2\\sin\\frac{x}{a}-\\log_a\\sin^8\\frac{x}{a}}+\\sqrt{20+\\log_a^2\\operatorname{tg}\\frac{x}{a}+\\log_a\\operatorname{tg}^4\\frac{x}{a}}\\]\nи все пары \$(a,x)\$, при которых оно достигается.","answer_text":"\$8\\sqrt{5},\\ a=2,\\ x=\\frac{\\pi}{2}+4k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$8\\sqrt{5},\\ a=2,\\ x=\\frac{\\pi}{2}+4k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 2","variant_key":"2016-v2","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]