Задача №17921

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x^2+ax-10=0$ равна 7. Найдите все возможные значения $a\text{.}$

Уравнение $x^2+ax-10=0$ — квадратное с дискриминантом

Так как $a^2⩾0\text{,}$ то $D=a^2+40⩾40>0$ при любом $a\text{.}$ Значит, уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1,x_2\text{,}$ и никаких ограничений на $a$ из условия существования корней не возникает.

Корни даются формулой

Разность между наибольшим и наименьшим корнями равна модулю разности корней:

(То же следует из тождества $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2\text{:}$ по теореме Виета $x_1+x_2=-a\text{,}$ $x_1{x}_2=-10\text{,}$ поэтому $(x_1-x_2{)}^2=a^2+40\text{.}$)

По условию эта разность равна $7\text{:}$

Обе части положительны, поэтому возведение в квадрат равносильно (посторонних решений не вносит):

Оба значения допустимы, так как условие существования корней выполнено для любого $a\text{.}$ Проверка:

• при $a=3\text{:}$ $x^2+3x-10=0\text{,}$ корни $-5$ и $2\text{,}$ разность $2-(-5)=7\text{;}$
• при $a=-3\text{:}$ $x^2-3x-10=0\text{,}$ корни $-2$ и $5\text{,}$ разность $5-(-2)=7\text{.}$

Ответ: $a=\pm 3\text{.}$