Задача №17922

Решите уравнение $8{\cos }^{2}x+\sin 2x=3+2\cos 2x\text{.}$

Преобразуем левую часть, используя $8{\cos }^{2}x=4(1+\cos 2x)=4+4\cos 2x\text{:}$

Перенося всё в одну сторону:

Распишем через $\cos x,\sin x\text{,}$ пользуясь тем, что $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\text{,}$ $1={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\text{,}$ $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

Это выражение раскладывается на множители:

(Проверка раскрытием: $(3\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=3{\cos }^{2}x+3\sin x\cos x-\sin x\cos x-{\sin }^{2}x=3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$ — совпадает.)

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений (преобразования равносильны: ничего не возводили в квадрат и не делили на возможный ноль, область определения — все $x\in \mathbb{R}\text{,}$ посторонних корней и потерь нет).

1) $\cos x+\sin x=0\text{.}$ Так как при $\cos x=0$ было бы $\sin x=0$ (невозможно), делим на $\cos x\ne 0\text{:}$ $\mathrm{tg}x=-1\text{,}$ откуда

2) $3\cos x-\sin x=0\text{.}$ Аналогично $\cos x\ne 0$ (иначе $\sin x=0$), делим: $\mathrm{tg}x=3\text{,}$ откуда

Эти семейства различны, так как $\mathrm{tg}x=-1$ и $\mathrm{tg}x=3$ несовместны.

Ответ: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ и $x=\mathrm{arctg}3+\pi k\text{,}$ где $n,k\in \mathbb{Z}\text{.}$