Задача №17923

Решите неравенство ${\log }_{1-{\log }_{x}2}(1+{\log }_2^{2}x)⩽1\text{.}$

Введём замену $t={\log }_{2}x\text{.}$ Тогда $x>0\text{,}$ причём для существования ${\log }_{x}2$ нужно $x\ne 1\text{,}$ то есть $t\ne 0\text{.}$ При этом ${\log }_{x}2=\frac{1}{t}\text{,}$ основание

ОДЗ. Аргумент $A=1+t^2>0$ всегда (фактически $A⩾1\text{,}$ причём $A=1$ лишь при $t=0\text{,}$ что исключено). Основание логарифма должно удовлетворять $b>0$ и $b\ne 1\text{.}$

Равенство $b=1$ означало бы $\frac{1}{t}=0\text{,}$ что невозможно, поэтому $b\ne 1$ автоматически. Итого ОДЗ: $t<0$ (то есть $x\in (0,1)$) или $t>1$ (то есть $x>2$). Промежуток $t\in (0,1]$ (то есть $x\in (1,2]$) из ОДЗ выпадает: при $t\in (0,1)$ основание $b<0\text{,}$ а при $t=1$ ($x=2$) основание $b=0\text{.}$

Само неравенство ${\log }_{b}A⩽1$ (с $A>0$) разбираем по величине основания.

Случай 1: $b>1\text{.}$ Тогда ${\log }_{b}A⩽1⟺A⩽b\text{.}$ При этом

что согласовано с ОДЗ. Условие $A⩽b\text{:}$

Так как $t<0\text{,}$ умножение на $t$ меняет знак неравенства:

С учётом $t<0$ получаем $-1⩽t<0\text{,}$ то есть $x=2^t\in \left[2^{-1},2^0\right)=\left[\frac{1}{2},1\right)\text{.}$

Случай 2: $0<b<1\text{.}$ Тогда ${\log }_{b}A⩽1⟺A⩾b$ (знак неравенства меняется). При этом

что согласовано с ОДЗ. Поскольку при $t>1$ имеем $A=1+t^2>2>1>b\text{,}$ условие $A⩾b$ выполнено всегда. Значит, годятся все $t>1\text{,}$ то есть $x=2^t\in (2,+\infty )\text{.}$

Объединение. Складывая решения двух случаев (граница $x=2$ исключена как точка $b=0\text{,}$ а полуинтервал $\left(1,2\right]$ вне ОДЗ), получаем

Концевая точка $x=\frac{1}{2}$ включается: там $t=-1\text{,}$ $b=2\text{,}$ $A=2\text{,}$ и ${\log }_{2}2=1⩽1$ — равенство достигается. Точка $x=1$ исключена ($t=0\text{,}$ не определён ${\log }_{x}2$); точка $x=2$ исключена ($b=0$).