Задача №17925

Ровно в 10:00 из пункта А в пункт Б выехала маршрутка. Проехав треть пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал грузовик. Когда до пункта А оставалось шестая часть пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт А, если известно, что велосипедист прибыл в пункт А ровно в 15:00? Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.

Примем длину пути $AB$ за $L\text{,}$ положение отсчитываем от $A$ (точка $A$ — координата $0\text{,}$ точка $B$ — координата $L$). Время $t$ — в часах от 10:00. Скорости маршрутки, велосипедиста и грузовика $V_{\text{м}},V_{\text{в}},V_{\text{г}}>0$ постоянны.

Маршрутка. Выехала из $A$ в $t=0\text{,}$ координата $x_{\text{м}}(t)=V_{\text{м}}t\text{,}$ прибудет в $B$ при $T_B=\frac{L}{V_{\text{м}}}\text{.}$

Встреча 1. Маршрутка прошла треть пути в момент $t_1=\frac{L/3}{V_{\text{м}}}=\frac{T_B}{3}\text{;}$ тогда же мимо едет велосипедист, значит он в точке $\frac{L}{3}$ и движется к $A\text{:}$

Велосипедист в $A\text{.}$ В 15:00, т.е. при $t=5\text{:}$ $\frac{L}{3}-V_{\text{в}}(5-t_1)=0\Rightarrow V_{\text{в}}(5-t_1)=\frac{L}{3}.(1)$

Грузовик. Выехал из $B$ (координата $L$) в момент $T_B\text{:}$ $x_{\text{г}}(t)=L-V_{\text{г}}(t-T_B)\text{.}$

Встреча 2. До $A$ осталась шестая часть, оба в точке $\frac{L}{6}$ в момент $t_2\text{.}$ Велосипедист: $\frac{L}{3}-V_{\text{в}}(t_2-t_1)=\frac{L}{6}\Rightarrow V_{\text{в}}(t_2-t_1)=\frac{L}{6}.(2)$ Грузовик: $L-V_{\text{г}}(t_2-T_B)=\frac{L}{6}\Rightarrow V_{\text{г}}(t_2-T_B)=\frac{5L}{6}.(3)$

Нахождение $t_2\text{.}$ Делим (2) на (1): $\frac{t_2-t_1}{5-t_1}=\frac{L/6}{L/3}=\frac{1}{2}\Rightarrow t_2=\frac{5+t_1}{2}.$

Прибытие грузовика в $A\text{.}$ $t_{\text{г}}=T_B+\frac{L}{V_{\text{г}}}\text{,}$ где из (3) $\frac{L}{V_{\text{г}}}=\frac{6(t_2-T_B)}{5}\text{.}$ С учётом $t_1=\frac{T_B}{3}\text{:}$

Итог $t_{\text{г}}=3$ часа не зависит ни от $L\text{,}$ ни от $V_{\text{м}}$ (свободный масштаб сокращается). Значит грузовик прибывает в $A$ через $3$ часа после 10:00 — в 13:00.

Проверка физичности. Для любого масштаба выполняется $t_1<T_B\le t_2<5$ и все скорости положительны. Например, $V_{\text{м}}=\frac{1}{2},L=1\text{:}$ $t_1=\frac{2}{3}\text{,}$ $T_B=2\text{,}$ $t_2=\frac{17}{6}\approx 2,83\text{,}$ $V_{\text{в}}=\frac{1}{13}\text{,}$ $V_{\text{г}}=1\text{;}$ велосипедист в $A$ при $t=5$ (15:00), грузовик в $A$ при $t=3$ (13:00).