Задача №17926

В основании правильной пирамиды с вершиной $V$ лежит шестиугольник $KLMNOP$ со стороной 5. Плоскость $\pi$ параллельна ребру $KL\text{,}$ перпендикулярна плоскости $NOV$ и пересекает ребро $LM$ в точке $T\text{,}$ так что $LT:TM=3:2\text{.}$ Кроме того, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскость $LMV$ и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $\pi$ от грани $MNV\text{.}$

Введём координаты: правильный шестиугольник $KLMNOP$ со стороной $5$ (значит, радиус описанной окружности тоже $5$) расположим в плоскости $z=0$ с центром в начале координат, апекс $V=(0,0,h)$ над центром (пирамида правильная). Высота $h$ заранее не дана и определяется условиями. Координаты вершин (при выборе $K$ на оси $Ox$):

Нормаль плоскости $\pi \text{.}$ Пусть $\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$ — нормаль $\pi \text{.}$
1) Параллельность ребру $KL\text{:}$ $\vec{n}\cdot \overrightarrow{KL}=0\text{.}$ Так как $\overrightarrow{KL}=\left(-\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2},0\right)\text{,}$ получаем $n_x=\sqrt{3}{n}_y\text{.}$
2) Перпендикулярность плоскости $(NOV)\text{:}$ нормали двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярны, поэтому $\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{NOV}=0\text{,}$ где ${\vec{n}}_{NOV}=\overrightarrow{NO}\times \overrightarrow{NV}=\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2}h,-\frac{5}{2}h,\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)\text{.}$ Отсюда $n_z=\frac{4\sqrt{3}}{15}h{n}_y\text{.}$

Итак (с точностью до множителя) $\vec{n}=\left(\sqrt{3},1,\frac{4\sqrt{3}}{15}h\right)\text{.}$

Определение высоты $h$ из условия перпендикулярности линий пересечения.
Линия $\pi \cap (\text{основание})$ имеет направление $\vec{n}\times (0,0,1)=(1,-\sqrt{3},0)\text{.}$
Линия $\pi \cap (LMV)\text{:}$ ${\vec{n}}_{LMV}=\overrightarrow{LM}\times \overrightarrow{LV}=\left(0,5h,\frac{25\sqrt{3}}{2}\right)\text{,}$ направление $\vec{n}\times {\vec{n}}_{LMV}=\left(\frac{\sqrt{3}(75-8h^2)}{6},-\frac{75}{2},5\sqrt{3}h\right)\text{.}$
Условие перпендикулярности — скалярное произведение равно нулю:

При этом $\vec{n}=(\sqrt{3},1,2\sqrt{2})\text{.}$

Уравнение плоскости $\pi \text{.}$ Она проходит через точку $T$ на $LM$ с $LT:TM=3:2\text{:}$ $T=L+\frac{3}{5}(M-L)=\left(-\frac{1}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2},0\right)\text{.}$ Тогда $\pi :\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot T=2\sqrt{3}\text{,}$ то есть $\sqrt{3}x+y+2\sqrt{2}z=2\sqrt{3}\text{.}$

Сечение грани $MNV\text{.}$ Подставим вершины: для $M$ значение $\sqrt{3}x+y+2\sqrt{2}z-2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}<0\text{;}$ для $N\text{:}$ $-7\sqrt{3}<0\text{;}$ для $V\text{:}$ $+8\sqrt{3}>0\text{.}$ Значит $M,N$ по одну сторону, $V$ по другую — плоскость отсекает треугольник у вершины $V\text{,}$ пересекая рёбра $MV$ и $NV\text{.}$
На $MV\text{:}$ параметр $t=\frac{1}{5}\text{,}$ точка $P_1=\left(-2,2\sqrt{3},\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\text{.}$
На $NV\text{:}$ параметр $t=\frac{7}{15}\text{,}$ точка $P_2=\left(-\frac{8}{3},0,\frac{7\sqrt{6}}{6}\right)\text{.}$
Оба параметра строго в $(0,1)\text{,}$ значит отсечённая фигура — действительно треугольник $V{P}_1{P}_2\text{.}$

Площадь.

(Проверка масштаба: площадь всей грани $MNV$ равна $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot h=\frac{75}{4}\text{;}$ отсечённая доля $=t_{MV}\cdot t_{NV}=\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{15}=\frac{7}{75}\text{.}$.. нет — площадь треугольника у вершины $=\frac{|V{P}_1||V{P}_2|}{|VM||VN|}\cdot S_{MNV}=\frac{1}{5}\cdot \frac{7}{15}\cdot \frac{75}{4}=\frac{32}{75}\cdot \frac{75}{4}$ — фактически прямой расчёт даёт $S=8\text{.}$)

Ответ: площадь отсечённого треугольника равна $8\text{.}$