Задача №17924

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A\text{.}$ Хорда $BC$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $D\text{.}$ Прямая $AD$ пересекает внешнюю окружность в точках $A$ и $E\text{.}$ Найдите $BE\text{,}$ если известно, что $EC=CA\text{,}$ площадь четырёхугольника $ABEC$ равна $3\sqrt{3}\text{,}$ а радиусы окружностей относятся как $2:3\text{.}$

Обозначим внутреннюю окружность $\omega$ (радиус $r\text{,}$ центр $o$) и внешнюю $\Omega$ (радиус $R\text{,}$ центр $O$); по условию $r:R=2:3\text{.}$ Окружности касаются изнутри в точке $A\text{,}$ поэтому существует гомотетия $\mathcal{H}$ с центром $A$ и коэффициентом $R/r\text{,}$ переводящая $\omega$ в $\Omega \text{.}$

Хорда $BC$ внешней окружности касается внутренней в точке $D\text{.}$ Касательная к $\omega$ в $D$ при гомотетии $\mathcal{H}$ переходит в параллельную ей касательную к $\Omega$ в точке $E^{\prime }=\mathcal{H}(D)\text{,}$ лежащей на луче $AD\text{.}$ Касательная к $\Omega \text{,}$ параллельная хорде $BC\text{,}$ касается $\Omega$ в середине дуги $BC\text{;}$ значит, точка $E$ (второе пересечение прямой $AD$ с $\Omega$) есть середина дуги $BC\text{,}$ не содержащей $A\text{.}$ Отсюда $EB=EC\text{,}$ и $AE$ — биссектриса угла $\angle BAC$ (равные дуги $\Rightarrow$ равные вписанные углы $\angle BAE=\angle CAE$).

Зафиксируем масштаб $R=3\text{,}$ $r=2$ и подберём конфигурацию под условие $EC=CA\text{.}$ Поместим $O=(0,0)\text{,}$ $A=(0,3)\text{;}$ тогда центр внутренней окружности на отрезке $OA$ на расстоянии $R-r=1$ от $O\text{:}$ $o=(0,1)\text{.}$ Решение даёт единственную невырожденную конфигурацию (с $D$ строго между $B$ и $C$):

Проверка: все $A,B,C,E$ лежат на $\Omega$ ($|\cdot |=3$); $D$ лежит на $\omega$ ($|D-o|=2$) и $BC\perp oD$ в $D$ (касание); $A,D,E$ коллинеарны; $D$ лежит на $BC\text{.}$ При этом $EC=CA=3$ и $EB=EC=3$ (то есть $E$ — середина дуги, как и предсказано), а $BE=3\text{.}$

Площадь четырёхугольника $ABEC$ (порядок вершин $A,B,E,C$): $S_0=\frac{27\sqrt{3}}{4}$ в единицах $R=3\text{.}$

Так как конфигурация задана с точностью до подобия (отношение радиусов $2:3$ и условие $EC=CA$ фиксируют форму, но не размер), масштабируем коэффициентом $k\text{:}$ длины $\times k\text{,}$ площади $\times k^2\text{.}$ Из условия $S=3\sqrt{3}\text{:}$

Следовательно $BE=k\cdot 3=\frac{2}{3}\cdot 3=2\text{.}$

Конфигурация единственна (поиск корней по углу касания даёт ровно одно невырожденное решение с $D$ между $B$ и $C$), поэтому ответ определён однозначно.

Ответ: $BE=2\text{.}$