Задача №17927

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{13+{\log }_a^2\cos \frac{x}{a}+{\log }_a{\cos }^4\frac{x}{a}}+\sqrt{97+{\log }_a^2\sin \frac{x}{a}-{\log }_a{\sin }^8\frac{x}{a}}+\sqrt{20+{\log }_a^2\mathrm{tg}\frac{x}{a}+{\log }_a{\mathrm{tg}}^4\frac{x}{a}}$$

и все пары $(a,x)\text{,}$ при которых оно достигается.

Обозначим $u={\log }_a\cos \frac{x}{a}\text{,}$ $v={\log }_a\sin \frac{x}{a}\text{,}$ $w={\log }_a\mathrm{tg}\frac{x}{a}\text{.}$ ОДЗ: $a>0,a\ne 1$ и $\cos \frac{x}{a}>0,\sin \frac{x}{a}>0,\mathrm{tg}\frac{x}{a}>0\text{;}$ при этом $w={\log }_a\frac{\sin }{\cos }=v-u\text{.}$

Так как ${\log }_a{\cos }^4=4u\text{,}$ ${\log }_a{\sin }^8=8v\text{,}$ ${\log }_a{\mathrm{tg}}^4=4w\text{,}$ подкоренные выражения дополняются до полных квадратов:

$$13+u^2+4u=(u+2{)}^2+3^2,97+v^2-8v=(v-4{)}^2+9^2,20+w^2+4w=(w+2{)}^2+4^2.$$

Значит выражение равно сумме длин векторов

$${\vec{p}}_1=(u+2,3),{\vec{p}}_2=(4-v,9),{\vec{p}}_3=(w+2,4).$$

Сумма горизонтальных компонент при условии $w=v-u$ постоянна:

$$(u+2)+(4-v)+(w+2)=u-v+w+8=8,$$

а вертикальных $3+9+4=16\text{.}$ По неравенству Минковского (треугольника)

$$\sum |{\vec{p}}_i|⩾|\sum {\vec{p}}_i|=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}.$$

Равенство достигается, когда все три вектора сонаправлены, т. е. отношение «горизонталь : вертикаль» одинаково и равно $8:16=\frac{1}{2}\text{:}$

$$\frac{u+2}{3}=\frac{4-v}{9}=\frac{w+2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow u=-\frac{1}{2},v=-\frac{1}{2},w=0(\text{и }w=v-u=0\text{выполнено}).$$

Расшифровка. $w=0\Rightarrow \mathrm{tg}\frac{x}{a}=1\text{;}$ вместе с $\cos \frac{x}{a}>0,\sin \frac{x}{a}>0$ (ОДЗ) это даёт первую четверть: $\frac{x}{a}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \text{,}$ откуда $\cos \frac{x}{a}=\sin \frac{x}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (ветвь $\frac{\pi }{4}+\pi$ отброшена: там $\cos ,\sin <0$). Тогда $u={\log }_a\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow a^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=2$ (единственный корень; $v=-\frac{1}{2}$ выполняется автоматически). База $a=2>1,\ne 1$ — ОДЗ соблюдено.

Наконец $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Ответ: наименьшее значение $8\sqrt{5}\text{,}$ достигается при $a=2,x=\frac{\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{.}$