58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T733,Рассмотрим уравнение $x^2+ax-6=0$. Его дискриминант равен \[D=a^2-4\cdot 1\cdot(-6)=a^2+24>0\] при любом $a$, поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета \[x_1+x_2=-a,\qquad x_1 x_2=-6.\] Так как произведение корней $x_1 x_2=-6<0$, корни имеют разные знаки, и речь действительно идёт о двух различных числах. Разность между наибольшим и наименьшим корнями есть модуль разности корней, который удобно выразить через сумму и произведение: \[\bigl|x_1-x_2\bigr|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2}=\sqrt{(-a)^2-4\cdot(-6)}=\sqrt{a^2+24}.\] (Тот же результат сразу даёт формула корней: $x_{1,2}=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2+24}}{2}$, откуда $x_1-x_2=\sqrt{a^2+24}$.) По условию эта разность равна $5$, поэтому \[\sqrt{a^2+24}=5 \iff a^2+24=25 \iff a^2=1 \iff a=\pm 1.\] Поскольку выражение $\sqrt{a^2+24}$ определено и равенство $a^2+24=25$ равносильно исходному условию (обе части неотрицательны), посторонних корней не возникает. Проверка: при $a=1$ уравнение $x^2+x-6=0$ имеет корни $-3$ и $2$ с разностью $2-(-3)=5$; при $a=-1$ уравнение $x^2-x-6=0$ имеет корни $-2$ и $3$ с разностью $3-(-2)=5$. Оба значения подходят. Ответ: $a=\pm 1$.5c:T6e7,Обозначим через $X$ и $Y$ точки пересечения внутренней окружности с отрезками $AT$ и $BT$ соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке $T$ и коэффициентом $5/8$ внешняя окружность переходит во внутреннюю, то отрезок $AB$ переходит в отрезок $XY$. Следовательно, $AB\parallel XY$, откуда \[\frac{AX}{BY}=\frac{AT}{BT}.\] Применяя теорему о касательной и секущей, получаем \[\frac{AS^2}{BS^2}=\frac{AX\cdot AT}{BY\cdot BT}=\frac{AT^2}{BT^2},\] то есть, \[\frac{AS}{BS}=\frac{AT}{BT},\] что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что $\angle ATS=\angle BTS$. Но из равенства $CB=BT$ следует, что \[\angle CTB=\angle TCB,\] стало быть, $AT\parallel CB$, то есть четырёхугольник $TACB$ — трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, $AC=CB=BT=3$. Далее, треугольники $ATS$ и $BCS$ подобны с коэффициентом подобия $TS/CS=5/(8-5)=5/3$. Следовательно, $AT=5$, а средняя линия трапеции $TACB$ равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1, то есть равна $2\sqrt{2}$. Таким образом, искомая площадь равна $4\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$.5d:T8fb,Будем называть пунктом В точку, в которой автобус поравнялся с велосипедистом, и пунктом Г — точку, в которой велосипедист встретился с автомобилем. По условию пункт В делит путь от пункта А до пункта Б в отношении $2:3$. Обозначим через $t_1$ время, за которое автомобиль доехал от А до Б, и через $t_2$ — время, за которое автобус доехал от Б до А. Тогда автомобиль доехал от В до Б за $\frac{3}{5}t_1$, а автобус доехал от Б до В за $\frac{3}{5}t_2$. То есть, от момента, когда в пункте В появился автомобиль, до момента, когда в этой точке появился автобус, прошло $\frac{3}{5}(t_1+t_2)=\frac{6}{5}$ часа. Заметим, что это же время равно сумме времени, за которое автомобиль доехал от пункта В до пункта Г, и времени, за которое велосипедист доехал от пункта Г до пункта В. Стало быть, если обозначить через $v_1$ и $v_2$ соответственно скорости автомобиля и велосипедиста, через $s_1$ и $s_2$ — расстояния от пункта А до пунктов В и Г соответственно, и через $t$ — время, прошедшее с момента отправления автомобиля из пункта А до момента приезда туда велосипедиста, то получим два соотношения: \[\frac{6}{5}=\frac{s_2-s_1}{v_1}+\frac{s_2-s_1}{v_2} \quad\text{и}\quad t=\frac{s_2}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}.\] Поделим первое равенство на второе и получим \[\frac{6}{5t}=\frac{s_2-s_1}{s_2}=1-\frac{\frac{2}{5}s}{\frac{2}{3}s}=\frac{2}{5},\] где $s$ — это расстояние от А до Б. Следовательно, $t=3$ часа.5e:T1185,Обозначим через $P$ точку пересечения плоскости $\pi$ с отрезком $AF$. Тогда $K$ и $P$ являются вершинами сечения, которое представляет из себя некоторый многоугольник $\mathcal{M}$. Этот многоугольник симметричен относительно плоскости, проходящей через середины рёбер $AB$ и $ED$ и через вершину $S$, поскольку относительно этой плоскости симметрична как пирамида, так и плоскость $\pi$. Следовательно, углы при вершинах $K$ и $P$ многоугольника $\mathcal{M}$ равны и, стало быть, в силу условия параллельности равны 90°. Таким образом, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскости $BCS$ и $AFS$, равно как и их проекции на плоскость основания, перпендикулярны $KP$. Следовательно, $\pi$ пересекает рёбра $CS$ и $FS$, откуда видим, что $S$ и $ED$ лежат по разные стороны от $\pi$, то есть $\pi$ пересекает и рёбра $DS$ и $ES$. Таким образом, если обозначить через $L$, $M$, $N$ и $O$ точки пересечения плоскости $\pi$ с рёбрами $CS$, $DS$, $ES$ и $FS$ соответственно, то треугольник $LMS$ — тот самый треугольник, площадь которого нужно найти. Для этого достаточно найти площадь его ортогональной проекции на плоскость основания и угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания. Обозначим через $S'$, $L'$, $M'$, $N'$ и $O'$ проекции $S$, $L$, $M$, $N$ и $O$ на плоскость основания. Пусть $X$ — точка пересечения прямых $KP$ и $CD$, а $Y$ — точка пересечения прямых $KP$ и $AD$. Заметим, что $M'$ лежит на прямой $XL'$. Пусть $a$ — длина ребра основания пирамиды и пусть $KC=b$. По условию $a=14$, $b=8$. Заметим, что \[CL'=\frac{b}{2},\quad S'L'=a-\frac{b}{2},\quad YX=a+b.\] Из подобия треугольников $XM'Y$ и $L'M'S'$ получаем \[\frac{YM'}{S'M'}=\frac{YX}{S'L'}=\frac{a+b}{a-\frac{b}{2}},\] откуда, учитывая, что $YM'=b+S'M'$, получаем \[S'M'=\frac{2a-b}{3}.\] Стало быть, площадь треугольника $L'M'S'$ равна \[S'L'\cdot S'M'\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{(2a-b)^2\sqrt{3}}{24}.\] Чтобы найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды, обозначим через $Q$ и $R$ середины отрезков $KP$ и $DE$ соответственно. Рассмотрим треугольник $QRS$. Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $Q$. Угол $\angle HQR$ — искомый. Из подобия прямоугольных треугольников $HQR$ и $S'SR$ следует, что \[\frac{SR}{QR}=\frac{S'R}{HR}.\] Учитывая, что $QR=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot YD=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)$, $S'R=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, а также, что \[\frac{HR}{SR}=\frac{MD}{SD}=\frac{M'D}{S'D}=\frac{a-S'M'}{a}=\frac{a+b}{3a},\] получаем \[\frac{SR}{\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{a+b}{3a}\cdot SR},\] откуда $SR=\frac{3}{2}a$. Таким образом, $\sin\angle HQR=\sin\angle S'SR=S'R/SR=\sqrt{1/3}$, то есть, $\cos\angle HQR=\sqrt{2/3}$. Стало быть, искомая величина — площадь треугольника $LMS$ — равна \[\frac{(2a-b)^2\sqrt{3}}{24}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{(2a-b)^2\sqrt{2}}{16}=\frac{20^2\sqrt{2}}{16}=25\sqrt{2}.\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 1\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 1\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2016-v1\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T08:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2016 — вариант 1\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2016 — вариант 1-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 1"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2016-v1","serverCollection":{"id":"7f9691bf-2840-45a5-b15f-947be13f4049","name":"ДВИ МГУ 2016 — вариант 1","code":"dvi-math-2016-v1","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_01.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2016 года, вариант 1","visible_problem_count":8,"year":2016},"created_at":"2026-06-10T08:30:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"16a888f2-dab4-4fac-bb33-169a0329ab42","collection_id":"7f9691bf-2840-45a5-b15f-947be13f4049","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"16a888f2-dab4-4fac-bb33-169a0329ab42","short_id":17912,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Найдите \$f\\left(\\dfrac{2}{7}\\right)\$, если \$f(x)=\\dfrac{x}{1-x}+\\dfrac{3}{7}\$.","answer_text":"\$29/35\$","answer":"\$29/35\$","solution_text":"Подставим \$x=\\dfrac{2}{7}\$ в выражение для функции. Вычислим сначала первое слагаемое. Знаменатель равен\n\\[1-\\frac{2}{7}=\\frac{7-2}{7}=\\frac{5}{7},\\]\nпоэтому\n\\[\\frac{x}{1-x}=\\frac{\\tfrac{2}{7}}{\\tfrac{5}{7}}=\\frac{2}{7}\\cdot\\frac{7}{5}=\\frac{2}{5}.\\]\nОстаётся прибавить \$\\dfrac{3}{7}\$. Приводя дроби к общему знаменателю \$35\$, получаем\n\\[f\\!\\left(\\frac{2}{7}\\right)=\\frac{2}{5}+\\frac{3}{7}=\\frac{14}{35}+\\frac{15}{35}=\\frac{29}{35}.\\]\nТочка \$x=\\dfrac{2}{7}\$ лежит в области определения функции, так как знаменатель \$1-x=\\dfrac{5}{7}\\neq 0\$, поэтому значение найдено корректно.\n\nОтвет: \$\\dfrac{29}{35}\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 1","variant_key":"2016-v1","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"1b7fbd5f-a0b9-46d8-b2b2-a9b8e6caf1e3","code":"tag-26","name":"Функция, область определения функции"}]}},{"problem_id":"84312e23-da17-4663-a347-1f4cebd92bee","collection_id":"7f9691bf-2840-45a5-b15f-947be13f4049","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"84312e23-da17-4663-a347-1f4cebd92bee","short_id":17913,"task_number":17,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \$x^2+ax-6=0\$ равна 5. Найдите все возможные значения \$a\$.","answer_text":"\$\\pm 1\$","answer":"\$\\pm 1\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 1","variant_key":"2016-v1","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"259b9496-84dd-420c-84a2-46f0be06e127","collection_id":"7f9691bf-2840-45a5-b15f-947be13f4049","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"259b9496-84dd-420c-84a2-46f0be06e127","short_id":17914,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение \$2\\cos^2 x+3\\sin 2x=4+3\\cos 2x\$.","answer_text":"\$x = \\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}5+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\frac{\\pi}{4}+k\\pi,\\ \\operatorname{arctg}5+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла и тождеством\n\\[4=4\\cos^2 x+4\\sin^2 x.\\]\nПолучим\n\\[\\sin^2 x-6\\sin x\\cos x+5\\cos^2 x=0,\\]\nчто равносильно\n\\[\\operatorname{tg}^2 x-6\\operatorname{tg}x+5=0.\\]\nСтало быть, \$\\operatorname{tg}x=1\$ или \$\\operatorname{tg}x=5\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2016/math_solutions.pdf","variant":"июль 2016 года, вариант 1","variant_key":"2016-v1","year":2016},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"737c582e-61bc-4f46-8a97-869156e7dda5","code":"tag-108","name":"Однородные уравнения 2-й и 3-й степени"},{"id":"75ef9492-f0a9-4464-a247-0ae40d879afd","code":"tag-111","name":"Однородные тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"a773efaf-794f-4653-9694-07f4a5e0f52a","collection_id":"7f9691bf-2840-45a5-b15f-947be13f4049","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"a773efaf-794f-4653-9694-07f4a5e0f52a","short_id":17915,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$\\log_{1-\\log_3 x}(1+\\log_x^2 3)\\leqslant 1\$.","answer_text":"\$x \\in \\left(0,\\tfrac{1}{3}\\right]\\cup(1,3)\$","answer":"\$x \\in \\left(0,\\tfrac{1}{3}\\right]\\cup(1,3)\$","solution_text":"Положим \$t=\\log_3 x\$. Тогда, поскольку\n\\[\\log_{1-t}\\left(1+\\frac{1}{t^2}\\right)\\leqslant 1 \\iff \\frac{\\ln\\left(1+\\frac{1}{t^2}\\right)-\\ln(1-t)}{\\ln(1-t)}\\leqslant 0 \\iff \\begin{cases}\\dfrac{\\left(1+\\frac{1}{t^2}\\right)-(1-t)}{-t}\\leqslant 0\\\\ t<1\\end{cases} \\iff \\begin{cases}\\dfrac{1+t^3}{t^3}\\geqslant 0\\\\ t<1\\end{cases} \\iff \\left[\\begin{array}{l}t\\leqslant -1\\\\ 0=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ