Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения x2+ax−6=0 равна 5. Найдите все возможные значения a.
Рассмотрим уравнение x2+ax−6=0. Его дискриминант равен
D=a2−4⋅1⋅(−6)=a2+24>0при любом a, поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня x1 и x2. По теореме Виета
x1+x2=−a,x1x2=−6.Так как произведение корней x1x2=−6<0, корни имеют разные знаки, и речь действительно идёт о двух различных числах.
Разность между наибольшим и наименьшим корнями есть модуль разности корней, который удобно выразить через сумму и произведение:
x1−x2=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(−a)2−4⋅(−6)=a2+24.(Тот же результат сразу даёт формула корней: x1,2=2−a±a2+24, откуда x1−x2=a2+24.)
По условию эта разность равна 5, поэтому
a2+24=5⟺a2+24=25⟺a2=1⟺a=±1.Поскольку выражение a2+24 определено и равенство a2+24=25 равносильно исходному условию (обе части неотрицательны), посторонних корней не возникает. Проверка: при a=1 уравнение x2+x−6=0 имеет корни −3 и 2 с разностью 2−(−3)=5; при a=−1 уравнение x2−x−6=0 имеет корни −2 и 3 с разностью 3−(−2)=5. Оба значения подходят.
Ответ: a=±1.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ