Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Две окружности касаются внутренним образом в точке T. Хорда AB внешней окружности касается внутренней окружности в точке S. Прямая TS пересекает внешнюю окружность в точках T и C. Найдите площадь четырёхугольника TACB, если известно, что CB=BT=3, а радиусы окружностей относятся как 5:8.
Обозначим через X и Y точки пересечения внутренней окружности с отрезками AT и BT соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке T и коэффициентом 5/8 внешняя окружность переходит во внутреннюю, то отрезок AB переходит в отрезок XY. Следовательно, AB∥XY, откуда
BYAX=BTAT.Применяя теорему о касательной и секущей, получаем
BS2AS2=BY⋅BTAX⋅AT=BT2AT2,то есть,
BSAS=BTAT,что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что ∠ATS=∠BTS. Но из равенства CB=BT следует, что
∠CTB=∠TCB,стало быть, AT∥CB, то есть четырёхугольник TACB — трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, AC=CB=BT=3.
Далее, треугольники ATS и BCS подобны с коэффициентом подобия TS/CS=5/(8−5)=5/3. Следовательно, AT=5, а средняя линия трапеции TACB равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1, то есть равна 22. Таким образом, искомая площадь равна 4⋅22=82.