Две окружности касаются внутренним образом в точке T. Хорда AB внешней окружности касается внутренней окружности в точке S. Прямая TS пересекает внешнюю окружность в точках T и C. Найдите площадь четырёхугольника TACB, если известно, что CB=BT=3, а радиусы окружностей относятся как 5:8.

Обозначим через X и Y точки пересечения внутренней окружности с отрезками AT и BT соответственно. Поскольку при гомотетии с центром в точке T и коэффициентом 5/8 внешняя окружность переходит во внутреннюю, то отрезок AB переходит в отрезок XY. Следовательно, AB XY, откуда (AX)/(BY)=(AT)/(BT). Применяя теорему о касательной и секущей, получаем (AS^2)/(BS^2)=(AX* AT)/(BY* BT)=(AT^2)/(BT^2), то есть, (AS)/(BS)=(AT)/(BT), что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что ATS= BTS. Но из равенства CB=BT следует, что CTB= TCB, стало быть, AT CB, то есть четырёхугольник TACB — трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, AC=CB=BT=3. Далее, треугольники ATS и BCS подобны с коэффициентом подобия TS/CS=5/(8-5)=5/3. Следовательно, AT=5, а средняя линия трапеции TACB равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1, то есть равна 2sqrt(2). Таким образом, искомая площадь равна 4* 2sqrt(2)=8sqrt(2).

8\sqrt{2}