В основании правильной пирамиды с вершиной S лежит шестиугольник ABCDEF со стороной 14. Плоскость pi параллельна ребру AB, перпендикулярна плоскости DES и пересекает ребро BC в точке K, так что BK:KC=3:4. Кроме того, прямые, по которым pi пересекает плоскости BCS и AFS, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью pi от грани CDS.

Обозначим через P точку пересечения плоскости pi с отрезком AF. Тогда K и P являются вершинами сечения, которое представляет из себя некоторый многоугольник M. Этот многоугольник симметричен относительно плоскости, проходящей через середины рёбер AB и ED и через вершину S, поскольку относительно этой плоскости симметрична как пирамида, так и плоскость pi. Следовательно, углы при вершинах K и P многоугольника M равны и, стало быть, в силу условия параллельности равны 90°. Таким образом, прямые, по которым pi пересекает плоскости BCS и AFS, равно как и их проекции на плоскость основания, перпендикулярны KP. Следовательно, pi пересекает рёбра CS и FS, откуда видим, что S и ED лежат по разные стороны от pi, то есть pi пересекает и рёбра DS и ES. Таким образом, если обозначить через L, M, N и O точки пересечения плоскости pi с рёбрами CS, DS, ES и FS соответственно, то треугольник LMS — тот самый треугольник, площадь которого нужно найти. Для этого достаточно найти площадь его ортогональной проекции на плоскость основания и угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания. Обозначим через S', L', M', N' и O' проекции S, L, M, N и O на плоскость основания. Пусть X — точка пересечения прямых KP и CD, а Y — точка пересечения прямых KP и AD. Заметим, что M' лежит на прямой XL'. Пусть a — длина ребра основания пирамиды и пусть KC=b. По условию a=14, b=8. Заметим, что CL'=(b)/(2), S'L'=a-(b)/(2), YX=a+b. Из подобия треугольников XM'Y и L'M'S' получаем (YM')/(S'M')=(YX)/(S'L')=(a+b)/(a-b2), откуда, учитывая, что YM'=b+S'M', получаем S'M'=(2a-b)/(3). Стало быть, площадь треугольника L'M'S' равна S'L'* S'M'*(sqrt(3))/(4)=((2a-b)^2sqrt(3))/(24). Чтобы найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды, обозначим через Q и R середины отрезков KP и DE соответственно. Рассмотрим треугольник QRS. Пусть H — основание высоты, опущенной из вершины Q. Угол HQR — искомый. Из подобия прямоугольных треугольников HQR и S'SR следует, что (SR)/(QR)=(S'R)/(HR). Учитывая, что QR=(sqrt(3))/(2)* YD=(sqrt(3))/(2)(a+b), S'R=(sqrt(3))/(2)a, а также, что (HR)/(SR)=(MD)/(SD)=(M'D)/(S'D)=(a-S'M')/(a)=(a+b)/(3a), получаем (SR)/(sqrt(3)2(a+b))=(sqrt(3)2a)/(a+b3a* SR), откуда SR=(3)/(2)a. Таким образом, sin HQR=sin S'SR=S'R/SR=sqrt(1/3), то есть, cos HQR=sqrt(2/3). Стало быть, искомая величина — площадь треугольника LMS — равна ((2a-b)^2sqrt(3))/(24)*(sqrt(3))/(sqrt(2))=((2a-b)^2sqrt(2))/(16)=(20^2sqrt(2))/(16)=25sqrt(2).

25\sqrt{2}