Задача №17918

В основании правильной пирамиды с вершиной $S$ лежит шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 14. Плоскость $\pi$ параллельна ребру $AB\text{,}$ перпендикулярна плоскости $DES$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K\text{,}$ так что $BK:KC=3:4\text{.}$ Кроме того, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскости $BCS$ и $AFS\text{,}$ параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $\pi$ от грани $CDS\text{.}$

Обозначим через $P$ точку пересечения плоскости $\pi$ с отрезком $AF\text{.}$ Тогда $K$ и $P$ являются вершинами сечения, которое представляет из себя некоторый многоугольник $\mathcal{M}\text{.}$ Этот многоугольник симметричен относительно плоскости, проходящей через середины рёбер $AB$ и $ED$ и через вершину $S\text{,}$ поскольку относительно этой плоскости симметрична как пирамида, так и плоскость $\pi \text{.}$ Следовательно, углы при вершинах $K$ и $P$ многоугольника $\mathcal{M}$ равны и, стало быть, в силу условия параллельности равны 90°. Таким образом, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскости $BCS$ и $AFS\text{,}$ равно как и их проекции на плоскость основания, перпендикулярны $KP\text{.}$ Следовательно, $\pi$ пересекает рёбра $CS$ и $FS\text{,}$ откуда видим, что $S$ и $ED$ лежат по разные стороны от $\pi \text{,}$ то есть $\pi$ пересекает и рёбра $DS$ и $ES\text{.}$ Таким образом, если обозначить через $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ и $O$ точки пересечения плоскости $\pi$ с рёбрами $CS\text{,}$ $DS\text{,}$ $ES$ и $FS$ соответственно, то треугольник $LMS$ — тот самый треугольник, площадь которого нужно найти. Для этого достаточно найти площадь его ортогональной проекции на плоскость основания и угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания.

Обозначим через $S^{\prime }\text{,}$ $L^{\prime }\text{,}$ $M^{\prime }\text{,}$ $N^{\prime }$ и $O^{\prime }$ проекции $S\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ и $O$ на плоскость основания. Пусть $X$ — точка пересечения прямых $KP$ и $CD\text{,}$ а $Y$ — точка пересечения прямых $KP$ и $AD\text{.}$ Заметим, что $M^{\prime }$ лежит на прямой $X{L}^{\prime }\text{.}$

Пусть $a$ — длина ребра основания пирамиды и пусть $KC=b\text{.}$ По условию $a=14\text{,}$ $b=8\text{.}$ Заметим, что

Из подобия треугольников $X{M}^{\prime }Y$ и $L^{\prime }{M}^{\prime }{S}^{\prime }$ получаем

откуда, учитывая, что $Y{M}^{\prime }=b+S^{\prime }{M}^{\prime }\text{,}$ получаем

Стало быть, площадь треугольника $L^{\prime }{M}^{\prime }{S}^{\prime }$ равна

Чтобы найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды, обозначим через $Q$ и $R$ середины отрезков $KP$ и $DE$ соответственно. Рассмотрим треугольник $QRS\text{.}$ Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $Q\text{.}$ Угол $\angle HQR$ — искомый. Из подобия прямоугольных треугольников $HQR$ и $S^{\prime }SR$ следует, что

Учитывая, что $QR=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot YD=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)\text{,}$ $S^{\prime }R=\frac{\sqrt{3}}{2}a\text{,}$ а также, что

получаем

откуда $SR=\frac{3}{2}a\text{.}$

Таким образом, $\sin \angle HQR=\sin \angle S^{\prime }SR=S^{\prime }R/SR=\sqrt{1/3}\text{,}$ то есть, $\cos \angle HQR=\sqrt{2/3}\text{.}$ Стало быть, искомая величина — площадь треугольника $LMS$ — равна