Задача №17917

Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Будем называть пунктом В точку, в которой автобус поравнялся с велосипедистом, и пунктом Г — точку, в которой велосипедист встретился с автомобилем. По условию пункт В делит путь от пункта А до пункта Б в отношении $2:3\text{.}$ Обозначим через $t_1$ время, за которое автомобиль доехал от А до Б, и через $t_2$ — время, за которое автобус доехал от Б до А. Тогда автомобиль доехал от В до Б за $\frac{3}{5}{t}_1\text{,}$ а автобус доехал от Б до В за $\frac{3}{5}{t}_2\text{.}$ То есть, от момента, когда в пункте В появился автомобиль, до момента, когда в этой точке появился автобус, прошло $\frac{3}{5}(t_1+t_2)=\frac{6}{5}$ часа. Заметим, что это же время равно сумме времени, за которое автомобиль доехал от пункта В до пункта Г, и времени, за которое велосипедист доехал от пункта Г до пункта В.

Стало быть, если обозначить через $v_1$ и $v_2$ соответственно скорости автомобиля и велосипедиста, через $s_1$ и $s_2$ — расстояния от пункта А до пунктов В и Г соответственно, и через $t$ — время, прошедшее с момента отправления автомобиля из пункта А до момента приезда туда велосипедиста, то получим два соотношения:

Поделим первое равенство на второе и получим

где $s$ — это расстояние от А до Б. Следовательно, $t=3$ часа.