Найдите наименьшее значение выражения sqrt(106+_a^2cos ax+_acos^(10) ax)+sqrt(58+_a^2sin ax-_asin^6 ax)+sqrt(5+_a^2tgax+_atg^2 ax) и все пары (a,x), при которых оно достигается.

Данное выражение можно переписать как sqrt(9^2+(5+_acos ax)^2)+sqrt(7^2+(3-_asin ax)^2)+sqrt(2^2+(1+_atgax)^2). Заметим, что (5+_acos ax)+(3-_asin ax)+(1+_atgax)=9, тогда как 9+7+2=18. Следовательно, исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки на плоскости с координатами (0,0) до точки с координатами (18,9). Причём достигается это расстояние тогда и только тогда, когда все три точки (9, 5+_acos ax), (7, 3-_asin ax), (2, 1+_atgax) лежат на этой прямой. То есть, тогда и только тогда, когда cases5+_acos ax=9/2 3-_asin ax=7/2 1+_atgax=1cases, что равносильно условию sin ax=cos ax=a^(-1/2). В силу основного тригонометрического тождества это возможно только тогда, когда a=2. В этом случае минимум достигается при x=(pi)/(8)+kpi, kinZ, и равен sqrt(18^2+9^2)=9sqrt(5).

9\sqrt{5},\ a=2,\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}