Задача №17919

Найдите наименьшее значение выражения

$$\sqrt{106+{\log }_a^2\cos ax+{\log }_a{\cos }^{10}ax}+\sqrt{58+{\log }_a^2\sin ax-{\log }_a{\sin }^{6}ax}+\sqrt{5+{\log }_a^2\mathrm{tg}ax+{\log }_a{\mathrm{tg}}^{2}ax}$$

и все пары $(a,x)\text{,}$ при которых оно достигается.

Данное выражение можно переписать как

$$\sqrt{9^2+(5+{\log }_a\cos ax{)}^2}+\sqrt{7^2+(3-{\log }_a\sin ax{)}^2}+\sqrt{2^2+(1+{\log }_a\mathrm{tg}ax{)}^2}.$$

Заметим, что $(5+{\log }_a\cos ax)+(3-{\log }_a\sin ax)+(1+{\log }_a\mathrm{tg}ax)=9\text{,}$ тогда как $9+7+2=18\text{.}$ Следовательно, исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки на плоскости с координатами $(0,0)$ до точки с координатами $(18,9)\text{.}$ Причём достигается это расстояние тогда и только тогда, когда все три точки

$$(9,5+{\log }_a\cos ax),(7,3-{\log }_a\sin ax),(2,1+{\log }_a\mathrm{tg}ax)$$

лежат на этой прямой. То есть, тогда и только тогда, когда

$$\{\begin{array}{l}5+{\log }_a\cos ax=9/2\\ 3-{\log }_a\sin ax=7/2\\ 1+{\log }_a\mathrm{tg}ax=1\end{array},$$

что равносильно условию $\sin ax=\cos ax=a^{-1/2}\text{.}$ В силу основного тригонометрического тождества это возможно только тогда, когда $a=2\text{.}$ В этом случае минимум достигается при $x=\frac{\pi }{8}+k\pi \text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{,}$ и равен $\sqrt{18^2+9^2}=9\sqrt{5}\text{.}$