58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tc09,Решаем неравенство $\sin x+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cos 2x+\cos x\leqslant 0$. **Область определения.** Левая часть определена при всех $x\in\mathbb{R}$ (нет логарифмов, корней из переменных выражений или знаменателей), так что ОДЗ $=\mathbb{R}$. Функция периодична с периодом $2\pi$. **Разложение на множители.** Используем $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$: \[\sin x+\cos x+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=(\sin x+\cos x)\left(1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)\right).\] **Приведение к одному аргументу.** Подстановка $t=x+\dfrac{\pi}{4}$: \[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\sin t,\qquad \cos x-\sin x=\sqrt{2}\,\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\cos t.\] Тогда левая часть равна \[\sqrt{2}\,\sin t\cdot\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t\right).\] Так как $\sqrt{2}>0$, неравенство равносильно \[\sin t\cdot\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t\right)\leqslant 0.\] **Знаки множителей** (один период $t\in[-\pi,\pi]$): $\sin t=0$ при $t=0,\pm\pi$; $\sin t<0$ на $(-\pi,0)$, $\sin t>0$ на $(0,\pi)$. $1+\dfrac{2}{\sqrt3}\cos t=0\iff\cos t=-\dfrac{\sqrt3}{2}\iff t=\pm\dfrac{5\pi}{6}$; множитель $>0$ при $|t|<\dfrac{5\pi}{6}$ и $<0$ при $\dfrac{5\pi}{6}<|t|\leqslant\pi$. Знак произведения по интервалам $[-\pi,\pi]$: $(-\pi,-\tfrac{5\pi}{6})$: $(-)(-)=+$; $(-\tfrac{5\pi}{6},0)$: $(-)(+)=-$; $(0,\tfrac{5\pi}{6})$: $(+)(+)=+$; $(\tfrac{5\pi}{6},\pi)$: $(+)(-)=-$. Значит, с учётом периода $2\pi$, произведение $\leqslant 0$ (нестрого, концы включены, в них значение $=0$) при \[t\in\left[-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ 2\pi n\right]\cup\left[\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ \pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.\] **Возврат к $x=t-\dfrac{\pi}{4}$.** Вычитая $\dfrac{\pi}{4}$ из концов: \[-\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{13\pi}{12},\quad 0-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{4},\quad \tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12},\quad \pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.\] Получаем ответ: \[x\in\left[-\tfrac{13\pi}{12}+2\pi n,\ -\tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\tfrac{7\pi}{12}+2\pi n,\ \tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.\] **Проверка краёв/посторонних корней.** Концы интервалов — нули левой части ($f=0$), и так как неравенство нестрогое, они входят в ответ; посторонних корней нет, поскольку преобразование (разложение и переход к $t$) равносильно на всём $\mathbb{R}$.5c:T83b,**Уравнение:** $\log_{\sqrt{x+1}}|4x-1|=4\log_{|4x-1|}\sqrt{x+1}$. **ОДЗ.** Основание первого логарифма: $\sqrt{x+1}>0$ и $\sqrt{x+1}\neq 1\Rightarrow x>-1,\ x\neq 0$. Аргумент первого и основание второго: $|4x-1|>0\Rightarrow x\neq\frac14$, и $|4x-1|\neq 1\Rightarrow 4x-1\neq\pm 1\Rightarrow x\neq\frac12,\ x\neq 0$. Итог: $x>-1,\ x\neq 0,\ x\neq\frac14,\ x\neq\frac12$. **Сведение.** По свойству $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ выражения $\log_{\sqrt{x+1}}|4x-1|$ и $\log_{|4x-1|}\sqrt{x+1}$ взаимно обратны. Положим $L=\log_{\sqrt{x+1}}|4x-1|$ (на ОДЗ $L\neq 0$). Тогда уравнение примет вид \[L=4\cdot\frac{1}{L}\iff L^2=4\iff L=\pm 2.\] **Случай $L=2$:** $\log_{\sqrt{x+1}}|4x-1|=2\iff |4x-1|=(\sqrt{x+1})^2=x+1$ (правая часть $>0$ при $x>-1$). \[4x-1=x+1\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad -(4x-1)=x+1\Rightarrow x=0\ (\text{исключён ОДЗ}).\] **Случай $L=-2$:** $|4x-1|=(\sqrt{x+1})^{-2}=\dfrac{1}{x+1}$, то есть $|4x-1|(x+1)=1$. \[\text{при }4x-1>0:\ (4x-1)(x+1)=1\Rightarrow 4x^2+3x-2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}\approx 0{,}4254\ (>\tfrac14,\ \text{подходит});\] второй корень $\frac{-3-\sqrt{41}}{8}\approx -1{,}175<-1$ — вне ОДЗ. \[\text{при }4x-1<0:\ -(4x-1)(x+1)=1\Rightarrow 4x^2+3x+2=0,\ D=9-32<0\ \text{— корней нет};\] формальное $x=0$ из этой ветви также исключено ОДЗ. **Проверка краёв/посторонних корней.** Кандидат $x=0$ даёт основание $\sqrt{x+1}=1$ — недопустимо; $x=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$ даёт $x+1<0$ — вне области $\sqrt{x+1}$. Точка $x=\tfrac12$ (где $|4x-1|=1$) — особая, не корень. Все три оставшихся значения лежат в ОДЗ. **Ответ:** $x=-\dfrac{3}{4},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{-3+\sqrt{41}}{8}$.5d:Tab7,Поместим вершину $B$ в начало координат, направим сторону $BC$ по оси абсцисс: $B=(0,0)$, $C=(s,0)$, где $s=BC$. Так как $\angle ABC=45^\circ$, вершина $A$ лежит на луче под углом $45^\circ$: $A=\left(\dfrac{c}{\sqrt2},\dfrac{c}{\sqrt2}\right)$, где $c=AB$. Точки пересечения окружности со стороной $BC$ делят её на три равные части, значит $K=\left(\dfrac{s}{3},0\right)$ и $L=\left(\dfrac{2s}{3},0\right)$ (условие $BK=KL=LC$). Центр $O$ равноудалён от $K$ и $L$, поэтому его абсцисса равна полусумме: $x_O=\dfrac{s}{2}$. Пусть $O=\left(\dfrac{s}{2},h\right)$. Радиус $R=2$, поэтому из $OK^2=R^2$: \[\left(\frac{s}{2}-\frac{s}{3}\right)^2+h^2=4\ \Rightarrow\ \frac{s^2}{36}+h^2=4.\tag{1}\] Пусть $M$ — середина $AC$, точка касания: $M=\dfrac{A+C}{2}$. Условие касания окружности с прямой $AC$ именно в точке $M$ даёт два уравнения: \[\vec{OM}\cdot\vec{AC}=0\quad(\text{перпендикулярность радиуса хорде}),\qquad |OM|^2=R^2=4.\tag{2}\] Решая систему $(1)$–$(2)$ относительно $c,s,h$, получаем $s=3\sqrt2$ (отсюда $\dfrac{s^2}{36}=\dfrac12$, $h^2=\dfrac72$, $h=\pm\dfrac{\sqrt{14}}{2}$) и \[c=AB=3\pm\sqrt7.\] Проверка корней. Для обоих значений $c$: — прямая $AC$ пересекает окружность ровно в одной точке (параметр $u=\tfrac12$, то есть в середине $M$) — касание подлинное, посторонних пересечений нет; — прямая $BC$ пересекает окружность ровно в точках с параметрами $t=\tfrac13$ и $t=\tfrac23$, то есть в $K$ и $L$, лежащих на отрезке $BC$, причём $BK=KL=LC=\dfrac{s}{3}=\sqrt2$; — $\angle ABC=45^\circ$, площадь треугольника положительна (вершина $A$ вне прямой $BC$). Оба значения геометрически допустимы (вершина $A$ дальше или ближе к точке касания), поэтому, поскольку спрашивается, чему $\textit{может}$ равняться $AB$, оба входят в ответ. \[\boxed{AB=3\pm\sqrt7}\quad\bigl(3-\sqrt7\approx0{,}354;\ \ 3+\sqrt7\approx5{,}646\bigr).\]5e:Tc92,Обозначим длину трассы $L$ (в метрах). Пусть скорость Григория на лыжах $v_G$, скорость пешехода (бредущего обратно Григория) $u$, скорость Василия на лыжах $v_V$; все скорости постоянны и положительны. Будем измерять положение лыжников расстоянием от вершины горы. **Момент поломки.** Григорий проехал две трети пути, то есть оказался на расстоянии $\dfrac{2}{3}L$ от вершины, после чего развернулся и побрёл обратно вверх со скоростью $u$. В этот же момент с вершины (положение $0$) стартовал Василий со скоростью $v_V$ вниз. **Условие встречи.** Пусть $t_1$ — время от поломки до встречи. К этому моменту Василий проехал $800$ м, то есть \[v_V\,t_1=800.\tag{1}\] Положение Григория, идущего вверх, равно $\dfrac{2}{3}L-u\,t_1$. При встрече положения совпадают: \[\frac{2}{3}L-u\,t_1=800.\tag{2}\] **Условие одновременного финиша.** Василий заканчивает спуск (доходит до низа, положение $L$) ровно тогда, когда Григорий добирается до вершины (положение $0$). От момента поломки Василию до низа нужно время $\dfrac{L}{v_V}$, а Григорию подняться от $\dfrac{2}{3}L$ до вершины — время $\dfrac{(2/3)L}{u}$. Эти времена равны: \[\frac{L}{v_V}=\frac{(2/3)L}{u}\ \Rightarrow\ u=\frac{2}{3}\,v_V.\tag{3}\] **Решение системы.** Из $(1)$ имеем $v_V\,t_1=800$, поэтому с учётом $(3)$ \[u\,t_1=\frac{2}{3}\,v_V\,t_1=\frac{2}{3}\cdot 800=\frac{1600}{3}.\] Подставляя это в $(2)$: \[\frac{2}{3}L=800+\frac{1600}{3}=\frac{2400+1600}{3}=\frac{4000}{3}\ \Rightarrow\ L=\frac{3}{2}\cdot\frac{4000}{3}=2000\ \text{м}.\] **Проверка.** При $L=2000$ м точка поломки находится на $\dfrac{2}{3}L=\dfrac{4000}{3}\approx 1333{,}3$ м от вершины. К моменту встречи Григорий поднялся на $u\,t_1=\dfrac{1600}{3}\approx 533{,}3$ м и оказался на $\dfrac{4000}{3}-\dfrac{1600}{3}=800$ м от вершины — там же, где Василий, проехавший $800$ м; точка встречи лежит внутри трассы $(0<800<2000)$. Время до финиша у Василия $\dfrac{L}{v_V}$ совпадает со временем подъёма Григория $\dfrac{(2/3)L}{u}$ в силу $(3)$. Все скорости положительны, посторонних решений нет. Ответ: длина трассы равна $2000$ м $=2$ км.5f:T956,\[\textbf{Параметры призмы.}\] В правильную (прямую, с равносторонним основанием) треугольную призму вписана сфера радиуса $r=\sqrt{21}$. Вписанная сфера касается обоих оснований, поэтому её диаметр равен высоте: \[h=2r=2\sqrt{21}.\] Она же касается всех трёх боковых граней, значит радиус вписанной в основание окружности равен $r$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $\rho=\dfrac{a}{2\sqrt3}$, откуда \[\frac{a}{2\sqrt3}=r\ \Rightarrow\ a=2\sqrt3\,r=2\sqrt3\cdot\sqrt{21}=6\sqrt7.\] \[\textbf{Координаты.}\] Поместим нижнее основание в плоскость $z=0$: \[A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad C=\Bigl(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},0\Bigr),\] верхнее основание — при $z=h$: $A'=(0,0,h),\ B'=(a,0,h)$. Точки $K$ и $L$: $AK:KB=2:3\Rightarrow K=A+\tfrac25(B-A)=\bigl(\tfrac{2a}{5},0,0\bigr)=\bigl(\tfrac{12\sqrt7}{5},0,0\bigr)$; $BL:LC=2:3\Rightarrow L=B+\tfrac25(C-B)=\bigl(\tfrac{24\sqrt7}{5},\tfrac{6\sqrt{21}}{5},0\bigr)$. \[\textbf{Направляющие векторы прямых.}\] \[\vec d_1=K-A'=\Bigl(\tfrac{12\sqrt7}{5},\,0,\,-2\sqrt{21}\Bigr),\qquad \vec d_2=L-B'=\Bigl(-\tfrac{6\sqrt7}{5},\,\tfrac{6\sqrt{21}}{5},\,-2\sqrt{21}\Bigr).\] \[\textbf{Расстояние между скрещивающимися прямыми.}\] \[\rho(A'K,B'L)=\frac{\bigl|(B'-A')\cdot(\vec d_1\times\vec d_2)\bigr|}{|\vec d_1\times\vec d_2|}.\] Здесь $B'-A'=(a,0,0)=(6\sqrt7,0,0)$, \[\vec d_1\times\vec d_2=\Bigl(\tfrac{252}{5},\,\tfrac{252\sqrt3}{5},\,\tfrac{504\sqrt3}{25}\Bigr),\] \[(B'-A')\cdot(\vec d_1\times\vec d_2)=6\sqrt7\cdot\tfrac{252}{5}=\tfrac{1512\sqrt7}{5},\qquad |\vec d_1\times\vec d_2|=\tfrac{1008\sqrt7}{25}.\] Тройное произведение отлично от нуля — прямые действительно скрещиваются, формула применима. Тогда \[\rho=\frac{1512\sqrt7/5}{1008\sqrt7/25}=\frac{1512\cdot25}{1008\cdot5}=\frac{15}{2}.\] \[\boxed{\rho(A'K,B'L)=\dfrac{15}{2}.}\]60:Tb82,Обозначим $a=2-\cos x$, $b=2-\cos 2x$, $c=(y^2+1)^2$, $d=|y|+1$. Тогда выражение равно \[S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.\] Все четыре величины положительны: $a=2-\cos x\in[1,3]$, $b=2-\cos 2x\in[1,3]$, $c=(y^2+1)^2\ge 1$, $d=|y|+1\ge 1$ (знаменатели не обращаются в нуль). Поэтому к четырём положительным слагаемым применимо неравенство о среднем: \[S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4\sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=4\sqrt[4]{1}=4.\] Равенство в неравенстве о среднем достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны, то есть когда все отношения равны: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}$. Так как их произведение равно $1$, каждое отношение равно $1$, значит требуется $a=b=c=d$. Найдём, при каких $x,y$ это возможно. 1) Условие $a=b$: $2-\cos x=2-\cos 2x$, то есть $\cos x=\cos 2x=2\cos^2 x-1$, откуда $2\cos^2 x-\cos x-1=0$ и $\cos x\in\{1,\ -\tfrac12\}$. \[\cos x=1:\quad a=b=2-1=1;\qquad \cos x=-\tfrac12:\quad a=b=2-(-\tfrac12)=\tfrac52.\] Итак общее значение $a=b$ равно либо $1$, либо $\tfrac52$. 2) Условие $c=d$: пусть $t=|y|\ge 0$, тогда $(t^2+1)^2=t+1$, то есть $t^4+2t^2-t=0$, $t\,(t^3+2t-1)=0$. Корни $t=0$ и единственный положительный корень $t_0$ уравнения $t^3+2t-1=0$ ($t_0\approx 0{,}4534$). При $t=0$ общее значение $c=d=1$; при $t=t_0$ оно равно $t_0+1\approx 1{,}4534$. Итак общее значение $c=d$ равно либо $1$, либо $\approx 1{,}4534$. 3) Для равенства $a=b=c=d$ общее значение пары $a,b$ должно совпадать с общим значением пары $c,d$. Возможные значения первой пары $\{1,\ \tfrac52\}$, второй $\{1,\ \approx 1{,}4534\}$; единственное общее значение $-$ это $1$. Поэтому необходимо $a=b=1$ и $c=d=1$, то есть $\cos x=1$ и $y=0$. Условие $\cos x=1$ даёт $x=2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; при этом $a=b=1$. При $y=0$ имеем $c=(0+1)^2=1$, $d=0+1=1$. Тогда \[S=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=4,\] и нижняя граница достигается. Ответ: минимум выражения равен $4$ и достигается в точках $x=2\pi k\ (k\in\mathbb{Z}),\ y=0$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2015 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2015 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2015-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T08:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2015 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2015 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2015 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2015-v2","serverCollection":{"id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","name":"ДВИ МГУ 2015 — вариант 2","code":"dvi-math-2015-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2015 года, вариант 2","visible_problem_count":8,"year":2015},"created_at":"2026-06-10T08:00:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"8db52090-9688-456f-b056-b5cb17b01bdf","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8db52090-9688-456f-b056-b5cb17b01bdf","short_id":17888,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Найдите \$f(3)\$, если \$f(x)=\\dfrac{x}{4}+\\dfrac{5}{x}+\\dfrac{7}{12}\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"Дано \$f(x)=\\dfrac{x}{4}+\\dfrac{5}{x}+\\dfrac{7}{12}\$. Требуется найти \$f(3)\$.\n\nОДЗ функции: знаменатель \$x\$ во втором слагаемом не должен обращаться в ноль, то есть \$x\\neq 0\$. Точка \$x=3\$ удовлетворяет ОДЗ (\$3\\neq 0\$), поэтому подстановка корректна.\n\nПодставляем \$x=3\$:\n\\[f(3)=\\frac{3}{4}+\\frac{5}{3}+\\frac{7}{12}.\\]\n\nПриводим к общему знаменателю \$12\$:\n\\[\\frac{3}{4}=\\frac{9}{12},\\qquad \\frac{5}{3}=\\frac{20}{12},\\qquad \\frac{7}{12}=\\frac{7}{12}.\\]\n\nСкладываем:\n\\[f(3)=\\frac{9+20+7}{12}=\\frac{36}{12}=3.\\]\n\nОтвет: \$f(3)=3\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"}]}},{"problem_id":"3d1a614b-0a84-454b-bf40-9f6da14bc7ae","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"3d1a614b-0a84-454b-bf40-9f6da14bc7ae","short_id":17889,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите сумму квадратов корней уравнения \$x^2+9x-2=0\$.","answer_text":"\$85\$","answer":"\$85\$","solution_text":"Дано уравнение \$x^2+9x-2=0\$. Это квадратное уравнение с дискриминантом \$D=9^2-4\\cdot1\\cdot(-2)=81+8=89>0\$, поэтому оно имеет два различных действительных корня \$x_1,x_2\$; их сумма квадратов корректно определена.\n\nПо теореме Виета для приведённого уравнения \$x^2+px+q=0\$ с \$p=9\$, \$q=-2\$:\n\\[x_1+x_2=-p=-9,\\qquad x_1x_2=q=-2.\\]\n\nСумму квадратов корней выражаем через симметрические функции:\n\\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-9)^2-2\\cdot(-2)=81+4=85.\\]\n\nПроверка прямым вычислением корней: \$x_{1,2}=\\dfrac{-9\\pm\\sqrt{89}}{2}\$, тогда\n\\[x_1^2+x_2^2=\\frac{(9-\\sqrt{89})^2+(9+\\sqrt{89})^2}{4}=\\frac{2(81+89)}{4}=\\frac{340}{4}=85.\\]\n\nПосторонних корней и ограничений ОДЗ нет (многочлен определён всюду). Ответ: \$85\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"b6efdb28-4c5d-457f-a540-75a7175da959","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b6efdb28-4c5d-457f-a540-75a7175da959","short_id":17890,"task_number":16,"topic_id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$\\sin x+\\sqrt{\\dfrac{2}{3}}\\cos 2x+\\cos x\\leqslant 0\$.","answer_text":"\$x \\in \\left[-\\frac{13\\pi}{12}+2n\\pi,\\ -\\frac{\\pi}{4}+2n\\pi\\right] \\cup \\left[\\frac{7\\pi}{12}+2n\\pi,\\ \\frac{3\\pi}{4}+2n\\pi\\right],\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x \\in \\left[-\\frac{13\\pi}{12}+2n\\pi,\\ -\\frac{\\pi}{4}+2n\\pi\\right] \\cup \\left[\\frac{7\\pi}{12}+2n\\pi,\\ \\frac{3\\pi}{4}+2n\\pi\\right],\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","name":"Тригонометрические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"c6c744d6-9efa-42d3-a055-b3cfc2fa3a43","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"c6c744d6-9efa-42d3-a055-b3cfc2fa3a43","short_id":17891,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите уравнение \$\\log_{\\sqrt{x+1}}|4x-1|=4\\log_{|4x-1|}\\sqrt{x+1}\$.","answer_text":"\$x = -\\frac{3}{4},\\ \\frac{2}{3},\\ \\frac{-3+\\sqrt{41}}{8}\$","answer":"\$x = -\\frac{3}{4},\\ \\frac{2}{3},\\ \\frac{-3+\\sqrt{41}}{8}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"d215b6ea-2c77-4320-a680-ceb897fceff2","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"d215b6ea-2c77-4320-a680-ceb897fceff2","short_id":17892,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Окружность радиуса \$2\$ касается середины стороны \$AC\$ треугольника \$ABC\$ и пересекает сторону \$BC\$ в точках \$K\$ и \$L\$, так что \$BK=KL=LC\$. Чему может равняться \$AB\$, если \$\\angle ABC=45^\\circ\$?","answer_text":"\$3\\pm\\sqrt{7}\$","answer":"\$3\\pm\\sqrt{7}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"621878dd-1520-47c9-8318-285c055dd2fe","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"621878dd-1520-47c9-8318-285c055dd2fe","short_id":17893,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и, проехав 800 метров, встретил Григория. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.","answer_text":"2 км","answer":"2 км","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}},{"problem_id":"9c0f17b0-ab06-46a3-9ff1-e9c12cfd6209","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9c0f17b0-ab06-46a3-9ff1-e9c12cfd6209","short_id":17894,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В правильную треугольную призму с основаниями \$ABC\$, \$A'B'C'\$ и рёбрами \$AA'\$, \$BB'\$, \$CC'\$ вписана сфера радиуса \$\\sqrt{21}\$. Найдите расстояние между прямыми \$A'K\$ и \$B'L\$, где \$K\$ и \$L\$ — точки, лежащие на \$AB\$ и \$BC\$ соответственно, и \$AK:KB=BL:LC=2:3\$.","answer_text":"\$15/2\$","answer":"\$15/2\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"b82fc06a-6477-4217-91df-ce2cd167ac51","code":"tag-176","name":"Правильная треугольная призма"},{"id":"e522d9cf-00ad-4fcc-915a-1fc6b0392749","code":"tag-222","name":"Расстояние между скрещивающимися прямыми"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}},{"problem_id":"dbbeaeb9-9ca0-4f1e-bfcb-de0aa25cbe45","collection_id":"8aee6b7b-5ad2-454f-a841-142cc8da5a4d","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"dbbeaeb9-9ca0-4f1e-bfcb-de0aa25cbe45","short_id":17895,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите все пары \$(x,y)\$, при которых достигается минимум выражения\n\\[\\frac{2-\\cos x}{2-\\cos 2x}+\\frac{2-\\cos 2x}{(y^2+1)^2}+\\frac{(y^2+1)^2}{|y|+1}+\\frac{|y|+1}{2-\\cos x}.\\]","answer_text":"\$x = 2n\\pi\\ (n\\in\\mathbb{Z}),\\ y=0\$","answer":"\$x = 2n\\pi\\ (n\\in\\mathbb{Z}),\\ y=0\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2015/math_solutions.pdf","variant":"июль 2015 года, вариант 2","variant_key":"2015-v2","year":2015},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]