Задача №17892

Окружность радиуса $2$ касается середины стороны $AC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $BC$ в точках $K$ и $L\text{,}$ так что $BK=KL=LC\text{.}$ Чему может равняться $AB\text{,}$ если $\angle ABC=45^{\circ }\text{?}$

Поместим вершину $B$ в начало координат, направим сторону $BC$ по оси абсцисс: $B=(0,0)\text{,}$ $C=(s,0)\text{,}$ где $s=BC\text{.}$ Так как $\angle ABC=45^{\circ }\text{,}$ вершина $A$ лежит на луче под углом $45^{\circ }\text{:}$ $A=\left(\frac{c}{\sqrt{2}},\frac{c}{\sqrt{2}}\right)\text{,}$ где $c=AB\text{.}$

Точки пересечения окружности со стороной $BC$ делят её на три равные части, значит $K=\left(\frac{s}{3},0\right)$ и $L=\left(\frac{2s}{3},0\right)$ (условие $BK=KL=LC$). Центр $O$ равноудалён от $K$ и $L\text{,}$ поэтому его абсцисса равна полусумме: $x_O=\frac{s}{2}\text{.}$ Пусть $O=\left(\frac{s}{2},h\right)\text{.}$ Радиус $R=2\text{,}$ поэтому из $O{K}^2=R^2\text{:}$

Пусть $M$ — середина $AC\text{,}$ точка касания: $M=\frac{A+C}{2}\text{.}$ Условие касания окружности с прямой $AC$ именно в точке $M$ даёт два уравнения:

Решая систему $(1)$–$(2)$ относительно $c,s,h\text{,}$ получаем $s=3\sqrt{2}$ (отсюда $\frac{s^2}{36}=\frac{1}{2}\text{,}$ $h^2=\frac{7}{2}\text{,}$ $h=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$) и

Проверка корней. Для обоих значений $c\text{:}$
— прямая $AC$ пересекает окружность ровно в одной точке (параметр $u=\frac{1}{2}\text{,}$ то есть в середине $M$) — касание подлинное, посторонних пересечений нет;
— прямая $BC$ пересекает окружность ровно в точках с параметрами $t=\frac{1}{3}$ и $t=\frac{2}{3}\text{,}$ то есть в $K$ и $L\text{,}$ лежащих на отрезке $BC\text{,}$ причём $BK=KL=LC=\frac{s}{3}=\sqrt{2}\text{;}$
— $\angle ABC=45^{\circ }\text{,}$ площадь треугольника положительна (вершина $A$ вне прямой $BC$).
Оба значения геометрически допустимы (вершина $A$ дальше или ближе к точке касания), поэтому, поскольку спрашивается, чему $\text{может}$ равняться $AB\text{,}$ оба входят в ответ.