В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A′B′C′ и рёбрами AA′, BB′, CC′ вписана сфера радиуса 21. Найдите расстояние между прямыми A′K и B′L, где K и L — точки, лежащие на AB и BC соответственно, и AK:KB=BL:LC=2:3.
В правильную (прямую, с равносторонним основанием) треугольную призму вписана сфера радиуса r=21. Вписанная сфера касается обоих оснований, поэтому её диаметр равен высоте:
h=2r=221.Она же касается всех трёх боковых граней, значит радиус вписанной в основание окружности равен r. Для равностороннего треугольника со стороной a радиус вписанной окружности ρ=23a, откуда
23a=r ⇒ a=23r=23⋅21=67. Координаты.Поместим нижнее основание в плоскость z=0:
A=(0,0,0),B=(a,0,0),C=(2a,2a3,0),верхнее основание — при z=h: A′=(0,0,h), B′=(a,0,h).
Точки K и L: AK:KB=2:3⇒K=A+52(B−A)=(52a,0,0)=(5127,0,0); BL:LC=2:3⇒L=B+52(C−B)=(5247,5621,0).
Направляющие векторы прямых. d1=K−A′=(5127,0,−221),d2=L−B′=(−567,5621,−221). Расстояние между скрещивающимися прямыми. ρ(A′K,B′L)=∣d1×d2∣(B′−A′)⋅(d1×d2).Здесь B′−A′=(a,0,0)=(67,0,0),
d1×d2=(5252,52523,255043), (B′−A′)⋅(d1×d2)=67⋅5252=515127,∣d1×d2∣=2510087.Тройное произведение отлично от нуля — прямые действительно скрещиваются, формула применима. Тогда
ρ=10087/2515127/5=1008⋅51512⋅25=215. ρ(A′K,B′L)=215.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ