Задача №17893

Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и, проехав 800 метров, встретил Григория. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

Обозначим длину трассы $L$ (в метрах). Пусть скорость Григория на лыжах $v_G\text{,}$ скорость пешехода (бредущего обратно Григория) $u\text{,}$ скорость Василия на лыжах $v_V\text{;}$ все скорости постоянны и положительны. Будем измерять положение лыжников расстоянием от вершины горы.

Момент поломки. Григорий проехал две трети пути, то есть оказался на расстоянии $\frac{2}{3}L$ от вершины, после чего развернулся и побрёл обратно вверх со скоростью $u\text{.}$ В этот же момент с вершины (положение $0$) стартовал Василий со скоростью $v_V$ вниз.

Условие встречи. Пусть $t_1$ — время от поломки до встречи. К этому моменту Василий проехал $800$ м, то есть

Положение Григория, идущего вверх, равно $\frac{2}{3}L-u{t}_1\text{.}$ При встрече положения совпадают:

Условие одновременного финиша. Василий заканчивает спуск (доходит до низа, положение $L$) ровно тогда, когда Григорий добирается до вершины (положение $0$). От момента поломки Василию до низа нужно время $\frac{L}{v_V}\text{,}$ а Григорию подняться от $\frac{2}{3}L$ до вершины — время $\frac{(2/3)L}{u}\text{.}$ Эти времена равны:

Решение системы. Из $(1)$ имеем $v_V{t}_1=800\text{,}$ поэтому с учётом $(3)$

Подставляя это в $(2)\text{:}$

Проверка. При $L=2000$ м точка поломки находится на $\frac{2}{3}L=\frac{4000}{3}\approx 1333,3$ м от вершины. К моменту встречи Григорий поднялся на $u{t}_1=\frac{1600}{3}\approx 533,3$ м и оказался на $\frac{4000}{3}-\frac{1600}{3}=800$ м от вершины — там же, где Василий, проехавший $800$ м; точка встречи лежит внутри трассы $(0<800<2000)\text{.}$ Время до финиша у Василия $\frac{L}{v_V}$ совпадает со временем подъёма Григория $\frac{(2/3)L}{u}$ в силу $(3)\text{.}$ Все скорости положительны, посторонних решений нет.

Ответ: длина трассы равна $2000$ м $=2$ км.