Задача №17891

Решите уравнение ${\log }_{\sqrt{x+1}}|4x-1|=4{\log }_{|4x-1|}\sqrt{x+1}\text{.}$

Уравнение: ${\log }_{\sqrt{x+1}}|4x-1|=4{\log }_{|4x-1|}\sqrt{x+1}\text{.}$

ОДЗ. Основание первого логарифма: $\sqrt{x+1}>0$ и $\sqrt{x+1}\ne 1\Rightarrow x>-1,x\ne 0\text{.}$ Аргумент первого и основание второго: $|4x-1|>0\Rightarrow x\ne \frac{1}{4}\text{,}$ и $|4x-1|\ne 1\Rightarrow 4x-1\ne \pm 1\Rightarrow x\ne \frac{1}{2},x\ne 0\text{.}$ Итог: $x>-1,x\ne 0,x\ne \frac{1}{4},x\ne \frac{1}{2}\text{.}$

Сведение. По свойству ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ выражения ${\log }_{\sqrt{x+1}}|4x-1|$ и ${\log }_{|4x-1|}\sqrt{x+1}$ взаимно обратны. Положим $L={\log }_{\sqrt{x+1}}|4x-1|$ (на ОДЗ $L\ne 0$). Тогда уравнение примет вид

Случай $L=2\text{:}$ ${\log }_{\sqrt{x+1}}|4x-1|=2⟺|4x-1|=(\sqrt{x+1}{)}^2=x+1$ (правая часть $>0$ при $x>-1$).

Случай $L=-2\text{:}$ $|4x-1|=(\sqrt{x+1}{)}^{-2}=\frac{1}{x+1}\text{,}$ то есть $|4x-1|(x+1)=1\text{.}$

второй корень $\frac{-3-\sqrt{41}}{8}\approx -1,175<-1$ — вне ОДЗ.

формальное $x=0$ из этой ветви также исключено ОДЗ.

Проверка краёв/посторонних корней. Кандидат $x=0$ даёт основание $\sqrt{x+1}=1$ — недопустимо; $x=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$ даёт $x+1<0$ — вне области $\sqrt{x+1}\text{.}$ Точка $x=\frac{1}{2}$ (где $|4x-1|=1$) — особая, не корень. Все три оставшихся значения лежат в ОДЗ.

Ответ: $x=-\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{-3+\sqrt{41}}{8}\text{.}$