Задача №17890

Решите неравенство $\sin x+\sqrt{\frac{2}{3}}\cos 2x+\cos x⩽0\text{.}$

Решаем неравенство $\sin x+\sqrt{\frac{2}{3}}\cos 2x+\cos x⩽0\text{.}$

Область определения. Левая часть определена при всех $x\in \mathbb{R}$ (нет логарифмов, корней из переменных выражений или знаменателей), так что ОДЗ $=\mathbb{R}\text{.}$ Функция периодична с периодом $2\pi \text{.}$

Разложение на множители. Используем $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\text{:}$

Приведение к одному аргументу. Подстановка $t=x+\frac{\pi }{4}\text{:}$

Тогда левая часть равна

Так как $\sqrt{2}>0\text{,}$ неравенство равносильно

Знаки множителей (один период $t\in [-\pi ,\pi ]$):
$\sin t=0$ при $t=0,\pm \pi \text{;}$ $\sin t<0$ на $(-\pi ,0)\text{,}$ $\sin t>0$ на $(0,\pi )\text{.}$
$1+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t=0⟺\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}⟺t=\pm \frac{5\pi }{6}\text{;}$ множитель $>0$ при $|t|<\frac{5\pi }{6}$ и $<0$ при $\frac{5\pi }{6}<|t|⩽\pi \text{.}$

Знак произведения по интервалам $[-\pi ,\pi ]\text{:}$
$(-\pi ,-\frac{5\pi }{6})\text{:}$ $(-)(-)=+\text{;}$ $(-\frac{5\pi }{6},0)\text{:}$ $(-)(+)=-\text{;}$ $(0,\frac{5\pi }{6})\text{:}$ $(+)(+)=+\text{;}$ $(\frac{5\pi }{6},\pi )\text{:}$ $(+)(-)=-\text{.}$

Значит, с учётом периода $2\pi \text{,}$ произведение $⩽0$ (нестрого, концы включены, в них значение $=0$) при

Возврат к $x=t-\frac{\pi }{4}\text{.}$ Вычитая $\frac{\pi }{4}$ из концов:

Получаем ответ:

Проверка краёв/посторонних корней. Концы интервалов — нули левой части ($f=0$), и так как неравенство нестрогое, они входят в ответ; посторонних корней нет, поскольку преобразование (разложение и переход к $t$) равносильно на всём $\mathbb{R}\text{.}$